Question

Начертите график найтите площадь фигуры через интеграл. y=x^2-6x+8 x+y-2=y

Answer 1

$S=\int^3_0(x^2-6x+8-(2-x))dx=(\frac{1}{3}x^3-\frac{5}{2}x^2+6x)|^3_0=\\ =9+18-22.5=4.5$

Answer 2

Для начала, найдем точки пересечения этих двух кривых, чтобы определить границы интегрирования.

Уравнения кривых:

1. y = x^2 - 6x + 8
2. x + y - 2 = 0

Подставим уравнение (2) в уравнение (1):

x + (x + y - 2) - 2 = 0

Упростим:

2x + y - 4 = 0

Теперь выразим y через x:

y = 4 - 2x

Теперь найдем точки пересечения, приравняв уравнение (1) к уравнению (2):

x^2 - 6x + 8 = 4 - 2x

Получим квадратное уравнение:

x^2 - 4x + 4 = 0

Теперь решим его:

x = (4 ± √(4^2 - 4 * 1 * 4)) / 2 x = (4 ± √(16 - 16)) / 2 x = (4 ± 0) / 2

x1 = x2 = 2

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: (2, 2) и (2, 4).

Теперь нарисуем график этих двух кривых и найдем площадь между ними:

pythonCopy code
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Функции для графиков
def f1(x):
    return x ** 2 - 6 * x + 8

def f2(x):
    return 4 - 2 * x

# Создание массива значений x
x = np.linspace(-2, 4, 100)

# Создание графика кривых
plt.plot(x, f1(x), label='y = x^2 - 6x + 8')
plt.plot(x, f2(x), label='x + y - 2 = 0')

# Закрашиваем область между кривыми
plt.fill_between(x, f1(x), f2(x), where=(f1(x) >= f2(x)), interpolate=True, color='gray', alpha=0.5)

# Отмечаем точки пересечения
plt.scatter([2], [2], color='red', label='Точки пересечения (2, 2) и (2, 4)')

# Настройка графика
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График кривых и площадь между ними')
plt.ylim(-2, 8)

# Отображение графика
plt.show()

На графике выше площадь между кривыми закрашена серым цветом. Чтобы найти эту площадь через интеграл, нужно рассчитать разность интегралов этих функций на промежутке от 2 до 4:

Площадь = ∫(x^2 - 6x + 8) dx - ∫(4 - 2x) dx, где пределы интегрирования от 2 до 4.

После вычислений получим:

Площадь = (1/3)x^3 - 3x^2 + 8x - x^2 + 4x | (от 2 до 4) Площадь = (1/3)(4^3) - 3(4^2) + 8(4) - (2^3) + 3(2^2) - 8(2) Площадь = (64/3) - 48 + 32 - 8 + 12 - 16 Площадь = 4/3

Итак, площадь фигуры между кривыми равна 4/3 квадратных единицы.