Question

Решите,пожалуйста sin2x(sinx+cosx)=4sinx-2cos

Answer 1

Sin^2x - 4sinxcosx + 3cos^2x = 0       /cos^2x ≠ 0
tg^2x - 4tgx + 3 = 0
1)  tgx = 1
x1 = π/4 + πn, n∈Z
2) tgx = 3
x2 = arctg3 + πk, k∈Z

Answer 2

Для решения уравнения sin(2x)(sin(x)+cos(x)) = 4sin(x) - 2cos(x) сначала приведем его к более удобному виду, заменив sin(2x) на 2sin(x)cos(x):

2sin(x)cos(x)(sin(x) + cos(x)) = 4sin(x) - 2cos(x)

Теперь раскроем скобки:

2sin^2(x)cos(x) + 2sin(x)cos^2(x) = 4sin(x) - 2cos(x)

Далее, выразим все тригонометрические функции через sin(x) и cos(x):

sin^2(x) = 1 - cos^2(x)

Таким образом, уравнение примет вид:

2(1 - cos^2(x))cos(x) + 2sin(x)cos^2(x) = 4sin(x) - 2cos(x)

Упростим его:

2cos(x) - 2cos^3(x) + 2sin(x)cos^2(x) = 4sin(x) - 2cos(x)

Теперь приведем все члены уравнения в одну сторону:

2cos(x) - 2cos^3(x) + 2sin(x)cos^2(x) - 4sin(x) + 2cos(x) = 0

-2cos^3(x) + 2sin(x)cos^2(x) - 4sin(x) = 0

Теперь вынесем общий множитель из первых двух членов:

2cos^2(x)(sin(x) - cos(x)) - 4sin(x) = 0

Теперь факторизуем:

2cos^2(x)(sin(x) - cos(x)) = 4sin(x)

Теперь разделим обе стороны на 2sin(x):

cos^2(x)(sin(x) - cos(x)) = 2sin(x)

Далее, воспользуемся тригонометрическим тождеством cos^2(x) = 1 - sin^2(x):

(1 - sin^2(x))(sin(x) - cos(x)) = 2sin(x)

Раскроем скобки:

sin(x) - sin^3(x) - cos(x) + sin^2(x)cos(x) = 2sin(x)

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

sin^3(x) + sin^2(x)cos(x) - 3sin(x) = 0

Теперь факторизуем, вынесем общий множитель sin(x):

sin(x)(sin^2(x) + sin(x)cos(x) - 3) = 0

Получаем два возможных уравнения:

1. sin(x) = 0

2. sin^2(x) + sin(x)cos(x) - 3 = 0

Для уравнения (1), sin(x) = 0, решением будет x = 0 и x = π.

Для уравнения (2), sin^2(x) + sin(x)cos(x) - 3 = 0, сложно получить явные аналитические решения, поэтому нужно применить численные методы или графический анализ, чтобы найти приближенные значения корней.

Таким образом, уравнение sin(2x)(sin(x) + cos(x)) = 4sin(x) - 2cos(x) имеет три решения: x = 0, x = π, и приближенные значения для других корней уравнения (2).