Question

Знак * означает возведение в степень. Положительные числа a, b и c таковы, что a*2+b*2+c*2=989 и (a+b)*2+(b+c)*2+(c+a)*2=2013. Найдите a+b+c.

Answer 1

1)a*2+b*2+c*2=989
2*(a+b+c)=989
a+b+c=989/2
a+b+c=494.5
2)2(a+b+b+c+c+a)=2013
2(2*a+2*b+2*c)=2013
4(a+b+c)=2013=503.25

Answer 2

Давайте решим данную систему уравнений.

У нас есть два уравнения:

1. a^2 + b^2 + c^2 = 989
2. (a + b)^2 + (b + c)^2 + (c + a)^2 = 2013

Раскроем квадраты во втором уравнении:

2. a^2 + b^2 + 2ab + b^2 + c^2 + 2bc + c^2 + a^2 + 2ac = 2013 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 + 2ab + 2bc + 2ac = 2013

Теперь выразим a^2 + b^2 + c^2 из первого уравнения и подставим во второе:

989 + 2ab + 2bc + 2ac = 2013

Теперь приведем все члены к одной стороне:

2ab + 2bc + 2ac = 2013 - 989

2ab + 2bc + 2ac = 1024

Далее можно разделить уравнение на 2:

ab + bc + ac = 512

Теперь, чтобы найти значение выражения a + b + c, нужно заметить, что оно равно сумме обоих уравнений, где каждое a, b и c встречается дважды:

(a + b + c) = (a^2 + b^2 + c^2) + (a + b)^2 + (b + c)^2 + (c + a)^2 - 2(ab + bc + ac)

Подставим значения из условий:

(a + b + c) = 989 + 2013 - 2 * 512 (a + b + c) = 989 + 2013 - 1024 (a + b + c) = 1978

Таким образом, a + b + c равно 1978.