Question

Решите плизз) Решить уравнения: y’=2^(x-y); y(-3)=-5

Answer 1

Решение диф. ур. на фотографии

Answer 2

Дано дифференциальное уравнение:

y' = 2^(x - y)

с начальным условием:

y(-3) = -5

Для решения этого уравнения, мы будем использовать метод разделения переменных.

1. Разделим переменные, перемещая все члены, содержащие y, на одну сторону уравнения:

dy/dx = 2^(x - y)

2. Теперь выделим y на одной стороне, а x и dx на другой стороне:

2^(y - x) dy = dx

3. Затем проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫2^(y - x) dy = ∫dx

4. Проинтегрируем левую сторону:

Для интегрирования ∫2^(y - x) dy, выполним замену переменных, чтобы преобразовать выражение к более удобному виду:

Пусть u = y - x, тогда du = dy

∫2^u du = ∫dx

Теперь проинтегрируем обе стороны:

(1/ln(2)) * ∫2^u du = x + C1

где C1 - постоянная интегрирования.

Интегрируя левую сторону, получим:

(1/ln(2)) * (2^u) = x + C1

5. Теперь вернемся к исходной переменной y:

2^u = ln(2) * (x + C1)

2^(y - x) = ln(2) * (x + C1)

y - x = log2(ln(2) * (x + C1))

6. Найдем выражение для y, выразив y через x:

y = x + log2(ln(2) * (x + C1))

7. Используем начальное условие y(-3) = -5, чтобы найти значение C1:

-5 = -3 + log2(ln(2) * (-3 + C1))

log2(ln(2) * (C1 - 3)) = -2

ln(2) * (C1 - 3) = 2^(-2)

ln(2) * (C1 - 3) = 1/4

C1 - 3 = (1/4) / ln(2)

C1 = 3 + (1/4) / ln(2)

8. Подставим значение C1 обратно в уравнение для y:

y = x + log2(ln(2) * (x + C1))

y = x + log2(ln(2) * (x + 3 + (1/4) / ln(2)))

Таким образом, решение дифференциального уравнения с начальным условием y(-3) = -5 имеет вид:

y = x + log2(ln(2) * (x + 3 + (1/4) / ln(2)))