Question

Найдите точки экстремума функций f(x)=x^3+3x^2-9x+5

Answer 1

F'(x)=3x²+6x-9
f'(x)=0
3x²+6x-9=0
D=36+4•3•9=36+108=144=12²
x=(-6±12)/6
x1=-3
x2=1
f'(x)>0 f(x) функция возрастает
f'(x)<0 f(x) функция убывает

3х²+6х-9=3(х+3)(х-1)>0
по методу интервалов
___+_-3____-___1______+_____
х=-3 точка максимум
х=1 точка минимум

Answer 2

Для нахождения точек экстремума функции f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 5, необходимо найти её производную и найти значения аргументов (x), при которых производная равна нулю.

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = d/dx (x^3 + 3x^2 - 9x + 5) f'(x) = 3x^2 + 6x - 9

2. Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю и решив уравнение: 3x^2 + 6x - 9 = 0

3. Решим квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта D = b^2 - 4ac: a = 3, b = 6, c = -9 D = 6^2 - 4 * 3 * (-9) = 36 + 108 = 144

4. Найдем корни уравнения, используя формулу для решения квадратного уравнения: x = (-b ± √D) / 2a x = (-6 ± √144) / 2 * 3 x = (-6 ± 12) / 6

Таким образом, получаем два значения x:

a) x = (-6 + 12) / 6 x = 6/6 x = 1

b) x = (-6 - 12) / 6 x = -18 / 6 x = -3

5. Теперь найдем значение функции в каждой из точек, чтобы определить тип экстремума (максимум или минимум):

a) x = 1: f(1) = 1^3 + 3 * 1^2 - 9 * 1 + 5 f(1) = 1 + 3 - 9 + 5 f(1) = 0 (это значение в минимуме)

b) x = -3: f(-3) = (-3)^3 + 3 * (-3)^2 - 9 * (-3) + 5 f(-3) = -27 + 27 + 27 + 5 f(-3) = 32 (это значение в максимуме)

Таким образом, функция f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 5 имеет точку минимума при x = 1 с значением функции равным 0, и точку максимума при x = -3 с значением функции равным 32.