Question

Найти производные от указанных функций а) y=sin²3x × cos³2x Распишите пожалуйста

Answer 1

a) y=sin²3x * cos³2x  ( это произведение 2-х функций, каждая функция - есть функция сложная. Всё это надо учесть)
Давай, подробно, покусочкам
Для начала: 
1) у =  sin²3x
(тройная зависимость: квадрат, синус, и под синусом стоит 3х)
y' = 2Sin3x *(Sin3x)' = 2Sin3x * Cos3x *(3x)' = 2Sin3x*Cos3x *3 =
=3Sin6x
2) у = cos³2x 
(тройная зависимость: куб, косинус, и под косинусом стоит 2х)
y' = 3Cos²2x *(Cos2x)' = 3Cos²2x * (-Sin2x)*(2x)' =
= -3Cos²2x Sin2x*2 = - 6Cos²2x Sin2x
3) А вот теперь наш пример. Прицепим формулу: (UV)'=U'V + UV'
y=sin²3x * cos³2x    (U= Sin²3x;   V = Cos³2x)
y' = (sin²3x )' * cos³2x + sin²3x * (cos³2x )' =
=3Sin6x *Cos³2x - Sin²3x * 6Cos²2x Sin2x 

Answer 2

Для нахождения производной функции y = sin²(3x) × cos³(2x) по переменной x, применим правило производной произведения функций. Правило гласит:

Если у нас есть функции u(x) и v(x), то производная их произведения равна произведению производной первой функции на вторую функцию, плюс произведение первой функции на производную второй функции:

(d/dx) [u(x) × v(x)] = u'(x) × v(x) + u(x) × v'(x)

Давайте применим это правило к нашей функции:

y = sin²(3x) × cos³(2x)

Сначала найдем производные компонентов:

Пусть u(x) = sin²(3x) и v(x) = cos³(2x).

Тогда найдем их производные:

u'(x) = d/dx [sin²(3x)] и v'(x) = d/dx [cos³(2x)]

1. Найдем u'(x):

u(x) = sin²(3x)

Применим правило цепочки: если u(x) = (f(x))^n, тогда u'(x) = n * (f(x))^(n-1) * f'(x)

f(x) = sin(3x), n = 2

u'(x) = 2 * (sin(3x))^(2-1) * d/dx[sin(3x)]

u'(x) = 2 * (sin(3x))^1 * cos(3x) * d/dx[3x]

u'(x) = 2 * sin(3x) * cos(3x) * 3

u'(x) = 6sin(3x)cos(3x)

2. Найдем v'(x):

v(x) = cos³(2x)

Применим правило цепочки: если v(x) = (f(x))^n, тогда v'(x) = n * (f(x))^(n-1) * f'(x)

f(x) = cos(2x), n = 3

v'(x) = 3 * (cos(2x))^(3-1) * d/dx[cos(2x)]

v'(x) = 3 * (cos(2x))^2 * d/dx[cos(2x)]

v'(x) = 3 * cos²(2x) * d/dx[cos(2x)]

v'(x) = 3 * cos²(2x) * (-sin(2x)) * d/dx[2x]

v'(x) = 3 * cos²(2x) * (-sin(2x)) * 2

v'(x) = -6cos²(2x)sin(2x)

Теперь соберем производную функции y:

(d/dx) [sin²(3x) × cos³(2x)] = u'(x) × v(x) + u(x) × v'(x)

(d/dx) [sin²(3x) × cos³(2x)] = 6sin(3x)cos(3x) × cos³(2x) + sin²(3x) × (-6cos²(2x)sin(2x))

(d/dx) [sin²(3x) × cos³(2x)] = 6sin(3x)cos(3x)cos³(2x) - 6sin²(3x)cos²(2x)sin(2x)

Таким образом, производная функции y = sin²(3x) × cos³(2x) по переменной x равна:

(d/dx) [sin²(3x) × cos³(2x)] = 6sin(3x)cos(3x)cos³(2x) - 6sin²(3x)cos²(2x)sin(2x)