Question

Наименьшее целое значение параметра а, при котором уравнение (2-х)|12-х|=а имеет три различных корня, равно...

Answer 1

При x < 12 будет |12-x| = 12-x
(2-x)(12-x) = a
x^2 - 14x + (24-a) = 0
При x >= 12 будет |12-x| = x-12
(2-x)(x-12) = a
-x^2 + 14x - (24+a) = 0
x^2 - 14x + (24+a) = 0
Наименьшее значение, при котором будет 3 корня - это значение вершины параболы.
x0 = -b/(2a) = 14/2 = 7 < 12, значит, это 1 парабола.
7^2 - 14*7 + 24 - a = -25 - a = 0
a = -25

Answer 2

Давайте разберемся, как найти наименьшее целое значение параметра а, при котором уравнение имеет три различных корня.

Уравнение, данное в задаче, выглядит следующим образом:

|(2 - x)| = a / (12 - x)

Так как модуль возвращает всегда неотрицательное значение, то уравнение эквивалентно двум другим уравнениям:

(2 - x) = a / (12 - x)

или

(2 - x) = -a / (12 - x)

Мы хотим найти параметр а таким образом, чтобы каждое из этих уравнений имело ровно одно решение. Если у нас есть только одно решение, то уравнение имеет два корня, так как у нас два различных уравнения, каждое из них должно иметь одно решение.

Рассмотрим первое уравнение:

(2 - x) = a / (12 - x)

Чтобы у него было только одно решение, это означает, что его график касается оси x (имеет касательную). График этого уравнения - это гипербола с вертикальными асимптотами x = 12 и x = 2. Когда график гиперболы касается оси x, касательная к гиперболе пересекает ось x в одной точке.

Таким образом, чтобы найти наименьшее целое значение параметра а, у которого уравнение имеет три различных корня, мы должны найти такое значение a, при котором гипербола не пересекает ось x в области между вертикальными асимптотами x = 12 и x = 2. График гиперболы располагается между вертикальными линиями x = 2 и x = 12, но не включает их.

Для этого в нашем случае нужно найти а такое, чтобы гипербола сосредотачивалась выше оси x, а затем пересекала ее дважды, таким образом, уравнение будет иметь ровно три различных корня.

Для того чтобы это произошло, нужно, чтобы а было равным расстоянию между вертикальными асимптотами, которое равно 12 - 2 = 10.

Таким образом, наименьшее целое значение параметра а, при котором уравнение имеет три различных корня, равно 10.