Question

Помогите, пожалуйста, с задачей Коши. y’’’-3y’’+3y’-y= 0 y(0)=1, y’(0)=1, y’’(0)=3

Answer 1

$y'''-3y''+3y'-y=0\\\\k^3-3k^2+3k-1=0\\\\(k-1)(k^2-2k+1)=0\\\\(k-1)\cdot (k-1)^2=1\\\\(k-1)^3=1\\\\k_1=k_2=k_3=1\\\\y_{obshee}=(C_1+C_2x+C_3x^2)\cdot e^{x}\\\\y(0)=1\; :\; \; y(0)=C_1\cdot e^0=C_1\; ,\; \; C_1=1\\\\y'(0)=1\; :\; y'(x)=(C_2+2C_3x)\cdot e^{x}+(C_1+C_2x+C_3x^2)\cdot e^{x}\\\\y'(0)=C_2+C_1=C_2+1\; ,\; \; C_2+1=1\; ,\; C_2=0\\\\y''(0)=3:\; y''(x)=2C_3\cdot e^{x}+(C_2+2C_3x)e^{x}+(C_2+2C_3x)\cdot e^{x}+\\\\+(C_1+C_2x+C_3x^2)\cdot e^{x}\\\\y''(0)=2C_3+C_2+2C_3+C_1=4C_3+1=3\; ,\; C_3=0,5\\\\y_{chastn.}=(1+0,5x^2)\cdot e^{x}$

Answer 2

Конечно, давайте решим задачу Коши для данного дифференциального уравнения.

Дано уравнение: y''' - 3y'' + 3y' - y = 0

И заданы начальные условия: y(0) = 1, y'(0) = 1, y''(0) = 3

Чтобы решить это уравнение, давайте сначала найдем характеристическое уравнение:

λ^3 - 3λ^2 + 3λ - 1 = 0

Чтобы найти корни характеристического уравнения, решим его:

(λ - 1)^3 = 0

Отсюда, имеем единственный корень λ = 1 (порядок кратности 3).

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

y(t) = (C1 + C2t + C3t^2) * e^t, где C1, C2 и C3 - произвольные константы.

Теперь найдем значения констант, используя начальные условия.

1. Начальное условие y(0) = 1:

y(0) = (C1 + C20 + C30^2) * e^0 = C1 = 1

2. Начальное условие y'(0) = 1:

y'(t) = (C2 + 2C3t) * e^t

y'(0) = (C2 + 2C30) * e^0 = C2 = 1

3. Начальное условие y''(0) = 3:

y''(t) = (2*C3) * e^t

y''(0) = (2C3) * e^0 = 2C3 = 3

Таким образом, получаем C1 = 1, C2 = 1, C3 = 3.

Итак, окончательное решение задачи Коши:

y(t) = (1 + t + 3*t^2) * e^t