Question

Указать промежуток, которому принадлежит корень уравнения: log3 4-log3(x-1)=log3 2 1) (-∞;-2) 2) [1;+∞) 3) (-∞;1] 4) [0;+∞)

Answer 1

Log3 4-log3 (x-1)= log3 2
ОДЗ:х-1>0
х>1
Log3 4/(x-1)= log3 2
4/x-1 = 2
2x-2=4
X=3

Answer 2

Для того чтобы найти промежуток, которому принадлежит корень уравнения, давайте сначала решим уравнение:

log3 4 - log3(x - 1) = log3 2

Для упрощения уравнения, мы можем использовать следующее свойство логарифма:

log_a(b) - log_a(c) = log_a(b/c)

Таким образом, уравнение примет вид:

log3(4/(x - 1)) = log3 2

Теперь, чтобы избавиться от логарифмов, мы можем использовать свойство равенства логарифмов:

Если log_a(b) = log_a(c), то b = c.

Итак:

4/(x - 1) = 2

Теперь решим уравнение относительно x:

4 = 2(x - 1)

Раскрываем скобку:

4 = 2x - 2

Прибавляем 2 к обеим сторонам:

6 = 2x

Делим на 2:

x = 3

Теперь, чтобы найти промежуток, которому принадлежит корень уравнения, рассмотрим интервалы на числовой прямой:

1. (-∞; -2): Выполняется ли равенство log3(4/(x - 1)) = log3 2 при x < -2? Подставим x = -3:

log3(4/(-3 - 1)) = log3 2

log3(-1) = log3 2

Левая часть логарифма не определена (так как логарифм от отрицательного числа), поэтому это не верный интервал.

2. [1; +∞): Выполняется ли равенство log3(4/(x - 1)) = log3 2 при x ≥ 1? Подставим x = 3:

log3(4/(3 - 1)) = log3 2

log3(4/2) = log3 2

log3(2) = log3 2

Левая и правая части равны, это верный интервал.

Ответ: 2) [1; +∞)