Question

При каких значениях t парабола имеет с осью ox только одну общую точку y=-x²-2(t+2)x-4

Answer 1

Графиком функции является парабола, ветви которого направлены вниз(а=-1<0). 
Парабола имеет с осью Ох только одну общую точку, если вершина параболы касается к прямой у=0, т.е. нужно решить следующее квадратное уравнение относительно х

$-x^2-2(t+2)x-4=0\\ D=b^2-4ac=(2(t+2))^2-4\cdot (-1)\cdot (-4)=4(t+2)^2-16=\\ \\ =4(t+2)^2-4^2=4((t+2)^2-2^2)=4t(t+4)$

Раз парабола имеет одну общую точку, то достаточно решить уравнение D=0(имеет единственный корень)

$4t(t+4)=0\\ t_1=0\\ t_2=-4$

Синий график это при t=0, а красный - при t=-4


ОТВЕТ: при t = 0 и t = - 4.

Answer 2

Чтобы парабола имела с осью OX только одну общую точку, она должна касаться оси OX, т.е., быть касательной к этой оси. Это происходит тогда, когда дискриминант квадратного уравнения, задающего параболу, равен нулю.

Для уравнения $y = -x^2 - 2(t+2)x - 4$ дискриминант равен:

$\Delta = b^2 - 4ac$,

где $a$, $b$ и $c$ - коэффициенты уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

В данном случае $a = -1$, $b = -2(t+2)$ и $c = -4$.

Теперь, чтобы найти значения $t$, при которых парабола имеет с осью OX только одну общую точку, нам нужно найти такие значения $t$, при которых дискриминант $\Delta$ равен нулю:

$\Delta = (-2(t+2))^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-4) = 4(t+2)^2 - 16 = 0$.

Решим уравнение:

$4(t+2)^2 = 16$.

Разделим обе части на 4:

$(t+2)^2 = 4$.

Теперь возьмем квадратные корни:

$t+2 = \pm 2$.

Для каждого значения $t$ найдем $t+2$:

1. $t+2 = 2$ => $t = 2 - 2 = 0$.
2. $t+2 = -2$ => $t = -2 - 2 = -4$.

Таким образом, парабола имеет с осью OX только одну общую точку при $t = 0$ и $t = -4$.