Question

Знайдіть кут між ребром A1D1 і діагоналлю BD куба ABCDA1B1C1D1

Answer 1

Проектуючи діагональ BD на площину (A1B1D1), отримуємо діагональ B1D1 відповідної грані.

Отже, кут між ребром A1D1 і діагоналлю BD дорівнює куту <A1D1B1, який дорівнює 45 градусів.

Answer 2

Для знаходження кута між ребром A1D1 і діагоналлю BD куба ABCDA1B1C1D1, нам потрібно знайти довжини цих відрізків та використати відповідну формулу. Зауважимо, що кут між ребром і діагоналлю відповідає куту між гранню куба та його діагоналлю.

Оскільки куб має всі сторони однакового розміру, ми можемо побудувати простий куб з одиничними ребрами для зручності. У такому випадку координати вершин куба будуть наступними:

A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, 1, 0), D(0, 1, 0), A1(0, 0, 1), B1(1, 0, 1), C1(1, 1, 1), D1(0, 1, 1).

За допомогою формули відстані між двома точками у тривимірному просторі:

d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2),

між точками A1 і D1 маємо:

A1D1 = sqrt((0 - 0)^2 + (1 - 0)^2 + (1 - 0)^2) = sqrt(0 + 1 + 1) = sqrt(2).

Тепер знайдемо діагональ BD:

BD = sqrt((1 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (1 - 0)^2) = sqrt(1 + 0 + 1) = sqrt(2).

Знаємо довжини ребра A1D1 і діагоналі BD, тоді знайдемо кут між ними за допомогою косинусного правила:

cos(θ) = (A1D1^2 + BD^2 - AD^2) / (2 * A1D1 * BD).

де θ - шуканий кут.

Підставимо відомі значення:

cos(θ) = (2 + 2 - 2) / (2 * sqrt(2) * sqrt(2)) = 2 / 4 = 0.5.

Тепер знайдемо значення кута θ, використовуючи арккосинус:

θ = arccos(0.5) ≈ 60 градусів.

Таким чином, кут між ребром A1D1 і діагоналлю BD куба ABCDA1B1C1D1 приблизно дорівнює 60 градусів.