Question

Разложите на множители плиз a^4-3a^2+1

Answer 1

$a^4-3a^2+1\\ t=a^2, t\geq 0\\ t^2-2t+1-t=\\=(t-1)^2-t=(t-1)(t-1)-t=\\ > </div> <div class=$ 0 0

Answer 2

Для разложения выражения $a^4-3a^2+1$ на множители, давайте введем временную замену, чтобы упростить выражение.

Пусть $x = a^2$. Тогда исходное выражение становится $x^2 - 3x + 1$.

Теперь мы можем попытаться разложить $x^2 - 3x + 1$ на множители. Это квадратное выражение, и мы можем воспользоваться квадратным трехчленом:

$x^2 - 3x + 1 = (x - x_1)(x - x_2),$

где $x_1$ и $x_2$ - корни уравнения $x^2 - 3x + 1 = 0$.

Чтобы найти корни $x_1$ и $x_2$, воспользуемся формулой для дискриминанта квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$D = b^2 - 4ac.$

В нашем случае $a = 1$, $b = -3$ и $c = 1$. Подставим значения:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5.$

Так как $D > 0$, у нас есть два различных вещественных корня:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Теперь мы можем записать исходное выражение снова в терминах переменной $a$:

$a^4-3a^2+1 = (a^2 - x_1)(a^2 - x_2).$

Подставим значения $x_1$ и $x_2$:

$a^4-3a^2+1 = \left(a^2 - \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right) \left(a^2 - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}\right).$

Таким образом, мы разложили исходное выражение на множители:

$a^4-3a^2+1 = \left(a^2 - \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right) \left(a^2 - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}\right).$