Question

A(3;-2;7) B(5;-4;1) C (0;2;3) Знайти довжину медіани СМ , і косинус кута АВС

Answer 1

Решение дано на фото.

Answer 2

Щоб знайти довжину медіани СМ, спочатку потрібно знайти координати точки М, яка є середньою точкою відрізка AB. Для цього можна скористатися середніми значеннями координат:

Мx = (Аx + Вx) / 2 Мy = (Аy + Вy) / 2 Мz = (Аz + Вz) / 2

Де Аx, Аy, Аz - координати точки А, Вx, Вy, Вz - координати точки В.

Замінюємо дані:

Аx = 3, Аy = -2, Аz = 7 Вx = 5, Вy = -4, Вz = 1

Мx = (3 + 5) / 2 = 4 Мy = (-2 - 4) / 2 = -3 Мz = (7 + 1) / 2 = 4

Тепер знаходимо координати векторів СМ і АВ:

СМ: (Мx, Мy, Мz) = (4, -3, 4) АВ: (Вx - Аx, Вy - Аy, Вz - Аz) = (5 - 3, -4 - (-2), 1 - 7) = (2, -2, -6)

Довжина медіани СМ може бути знайдена за допомогою формули для довжини вектора:

|СМ| = √(Мx^2 + Мy^2 + Мz^2)

|СМ| = √(4^2 + (-3)^2 + 4^2) = √(16 + 9 + 16) = √41 ≈ 6.4

Тепер, щоб знайти косинус кута АВС, можна скористатися властивостями скалярного добутку векторів.

Косинус кута між векторами A і B може бути знайдений за допомогою наступної формули:

cos(θ) = (A * B) / (|A| * |B|)

де A * B - скалярний добуток векторів A і B, |A| і |B| - довжини цих векторів.

Спочатку знайдемо скалярний добуток векторів АВ і СМ:

A * B = Аx * Вx + Аy * Вy + Аz * Вz = 3 * 2 + (-2) * (-2) + 7 * (-6) = 6 + 4 - 42 = -32

Тепер знайдемо довжини векторів АВ і СМ (ми вже знайшли довжину СМ в попередньому розділі):

|A| = √(Аx^2 + Аy^2 + Аz^2) = √(3^2 + (-2)^2 + 7^2) = √(9 + 4 + 49) = √62 ≈ 7.87 |B| = √(Вx^2 + Вy^2 + Вz^2) = √(5^2 + (-4)^2 + 1^2) = √(25 + 16 + 1) = √42 ≈ 6.48

Тепер можемо обчислити косинус кута АВС:

cos(θ) = (A * B) / (|A| * |B|) = (-32) / (7.87 * 6.48) ≈ -0.777

Таким чином, довжина медіани СМ ≈ 6.4, а косинус кута АВС ≈ -0.777.