Question

Задача 1: Каждую сторону квадрата увеличили на 2 см, поэтому площадь квадрата увеличилась на 16 см^2. Вычисли длину стороны данного квадрата. Задача 2: Периметр прямоугольника равен 18 см. Если длину прямоугольника уменьшить на 3 см, а ширину увеличить на 3 см, то площадь прямоугольника увеличится на 12 см^2. Вычисли длину сторон первоначального прямоугольника. Задача 3: Докажи, что для 4-х взятых подряд целых чисел произведения двух средних чисел на 2 больше, чем произведение двух крайних чисел.

Answer 1

№1. а=3 Была сторона а, площадь а², стала (а+2), площадь (а+2)². Уравнение а²+16=(а+2)², решаем, а=3
№2. а=8, b=1 а -длина, b- ширина, площадь была ab. Стало: (a-3)(b+3)= ab+12, перемножаем, приводим подобные, получим а-b=7. Второе уравнение по условию 2a+2b=18, a+b=9. Сложим с первым, получаем а=8, b=1
№3. Пусть первое число n, тогда последующие (n+1l, (n+2), (n+3). Требуется доказать : (n+1)(n+2)> n(n+3), перемножаем скобки и получаем 2>0. Неравенство выполняется.

Answer 2

Задача 1: Пусть сторона исходного квадрата равна "х" см. После увеличения каждой стороны на 2 см, сторона нового квадрата будет "х + 2" см.

Мы знаем, что площадь квадрата равна квадрату его стороны. Таким образом, уравнение для площади исходного квадрата (S1) и нового квадрата (S2) будет выглядеть так:

S1 = х^2 S2 = (х + 2)^2

По условию задачи, площадь нового квадрата увеличилась на 16 см^2, поэтому:

S2 - S1 = 16

Подставим выражения для S1 и S2:

(х + 2)^2 - х^2 = 16

Раскроем квадрат и упростим:

х^2 + 4х + 4 - х^2 = 16

Теперь выразим "х":

4х + 4 = 16 4х = 16 - 4 4х = 12 х = 12 / 4 х = 3

Таким образом, исходный квадрат имеет сторону длиной 3 см.

Задача 2: Пусть длина и ширина первоначального прямоугольника равны "х" и "у" см соответственно.

Периметр прямоугольника равен 18 см:

2(х + у) = 18

Разделим обе стороны на 2:

х + у = 9

По условию задачи, после изменения размеров длины и ширины, новая площадь прямоугольника увеличивается на 12 см^2, то есть:

(х - 3)(у + 3) = ху + 3х - 3у - 9 = ху + 12

Теперь у нас есть система уравнений:

1. х + у = 9
2. ху + 3х - 3у = ху + 12

Выразим "у" из первого уравнения:

у = 9 - х

Подставим это значение во второе уравнение:

х(9 - х) + 3х - 3(9 - х) = х(9 - х) + 12

Раскроем скобки:

9х - х^2 + 3х - 27 + 3х = 9х - х^2 + 12

Сократим одинаковые слагаемые:

9х - х^2 + 9х - х^2 - 15 = 0

Соберем все слагаемые влево:

-2х^2 + 18х - 15 = 0

Теперь решим квадратное уравнение:

Дискриминант (D) равен:

D = b^2 - 4ac D = (18)^2 - 4*(-2)*(-15) D = 324 - 120 D = 204

Корни уравнения:

х = (-b ± √D) / 2a х = (-18 ± √204) / 2*(-2)

х1 = (18 + √204) / 4 ≈ 6.19 х2 = (18 - √204) / 4 ≈ 1.31

Так как "х" - это длина прямоугольника, то "х2" (1.31 см) является некорректным ответом, так как он меньше изменения (3 см). Следовательно, правильный ответ - это "х1", что равно примерно 6.19 см.

Теперь, используя первое уравнение, найдем значение "у":

у = 9 - х у ≈ 9 - 6.19 ≈ 2.81

Таким образом, длина и ширина первоначального прямоугольника примерно 6.19 см и 2.81 см соответственно.

Задача 3: Даны 4 подряд идущих целых числа. Пусть эти числа - "n", "n + 1", "n + 2" и "n + 3".

Тогда произведение двух средних чисел (n + 1) и (n + 2) равно:

(n + 1)(n + 2) = n^2 + 3n + 2

Произведение двух крайних чисел (n) и (n + 3) равно:

n(n + 3) = n^2 + 3n

Теперь нам нужно доказать, что:

(n + 1)(n + 2) = n^2 + 3n + 2 > n^2 + 3n = n(n + 3)

Для этого просто раскроем скобки и увидим, что неравенство выполняется:

n^2 + 3n + 2 > n^2 + 3n

После сокращения:

2 > 0

Это утверждение истинно, так как 2 действительно больше 0.

Таким образом, доказано, что произведение двух средних чисел на 2 больше, чем произведение двух крайних чисел для 4 подряд идущих целых чисел.