Question

Прошу очень надо!y=(x^3+1)/(x^2) найдите асимптоты

Answer 1

Вертикальная асимптота x=0.

поиск горизонтальной асимптоты:
lim(x->∞) (x^3 + 1)/(x^2) = lim (x + (1/x^2)) = ∞,
lim(x->-∞)(x^3 + 1)/(x^2) = lim (x + (1/x^2)) = -∞.
Горизонтальных асимптот нет.

Поиск наклонных асимптот:
предполагаемая асимптота y = ax+b.
lim(x->∞) ( (x^3 + 1)/(x^2)) - (ax+b) = lim ( x^3 + 1 - a*x^3 - b*x^2)/(x^2) = 
= [при a = 1 ] = lim (1 - b*x^2)/x^2 = [ b=0] = lim (1/x^2) = 0.
Наклонная асимптота y=x.
Аналогично:
lim(x->-∞) ( (x^3 + 1)/(x^2) ) - (ax+b) ) = [ a=1, b=0] =
= lim ( x + (1/x^2) - x ) = lim (1/x^2) = 0.
Наклонная асимптота y=x. (Является асимптотой на +∞ и на -∞).

Answer 2

Для определения асимптот функции $y = \frac{x^3 + 1}{x^2}$, нужно рассмотреть два типа асимптот: вертикальные асимптоты и наклонные (горизонтальные) асимптоты.

1. Вертикальные асимптоты:

Вертикальные асимптоты возникают тогда, когда значение функции стремится к бесконечности или минус бесконечности при определенных значениях $x$.

Чтобы найти вертикальные асимптоты, решим уравнение $x^2 = 0$, так как знаменатель не может быть равен нулю: $x^2 = 0$ $x = 0$

Таким образом, у функции есть вертикальная асимптота $x = 0$.

2. Наклонные асимптоты:

Наклонные асимптоты возникают, когда функция стремится к прямой линии при $x$, стремящемся к бесконечности.

Для нахождения наклонных асимптот, вычислим предел функции при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$:

$\lim_{{x \to \infty}} \frac{x^3 + 1}{x^2} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{x^3}{x^2} + \lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{x^2} = \lim_{{x \to \infty}} x + \lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{x^2} = \infty$

$\lim_{{x \to -\infty}} \frac{x^3 + 1}{x^2} = \lim_{{x \to -\infty}} \frac{x^3}{x^2} + \lim_{{x \to -\infty}} \frac{1}{x^2} = \lim_{{x \to -\infty}} x + \lim_{{x \to -\infty}} \frac{1}{x^2} = -\infty$

Таким образом, у функции $y = \frac{x^3 + 1}{x^2}$ нет наклонных асимптот.

Итак, асимптоты данной функции:

1. Вертикальная асимптота: $x = 0$.
2. Нет наклонных асимптот.