Question

стороны оснований правильной треугольной усечнной пирамиды равны 4дм и 2дм, а боковое ребро равно 2дм. Найдите высоту и апофему пирамиды.

Answer 1

ВС равно половине большего основания:

BC = 4 дм / 2 = 2 дм

AD равно половине меньшего основания:

AD = 2 дм / 2 = 1 дм

Если провести параллельный отрезок DB1 из точки D параллельно AB до ребра BC большего основания, то получится треугольник, причём:
B1C = BC - AD = 2 - 1 = 1 дм

DB1 = AB

Мы получили прямоугольный треугольник DB1C,

теорема Пифагора для него:

DB1^2 + B1C^2 = DC^2, подставляем

DB1^2 + 1^2 = 2^2

DB1^2 = 4 - 1 = 3

DB1 = sqrt(3) - корень из трех

F = AB = DB1 = sqrt(3)

Осталось найти высоту H:

Т к большее основание - правильный треугольник, то OB - это перпендикуляр к BC

Делаем тоже самое - проводим параллельный отрезок отрезку H, но из точки A и второй точкой A1 на большем основании:
Так как ребра равнобедренных оснований большего в два раза больше меньшего, то исходя из симметрии оснований BO = 2 AO1

Тогда BA1 = AO1 = A1O = BO/2

Теперь рассмотрим треугольник BOC - прямоугольный

угол BCO = 60 / 2 = 30 град - половине угла равнобедренного треугольного основания.

Значит угол BOC = 180 - 90 - 30 = 60 град

Тогда из соотношения синуса:

BC / sin(60) = BO / sin(30)

BC = 2

BO = 2 * sin(30) / sin(60) = 2 * 0.5 / (sqrt(3) / 2) = 2 / sqrt(3)

значит BA1 = BO/2 = 2 / sqrt(3) / 2 = 1/sqrt(3)

но по правилу Пифагора:

F^2 = BA1^2 + H^2

подставляем

sqrt(3)^2 = 1/sqrt(3)^2 + H^2

H^2 = 3 - 1/3 =(9 - 1)/3 = 8/3

H = sqrt(8)/sqrt(3) = 2*sqrt(2/3)

Ответ: Апофема равна sqrt(3), высота усеченной пирамиды равна 2*sqrt(2/3)

Answer 2

Для нахождения высоты и апофемы правильной треугольной усеченной пирамиды можно воспользоваться формулами. Пусть a и b - стороны оснований, c - боковое ребро, h - высота, а f - апофема пирамиды.

Формула для высоты h правильной треугольной пирамиды: h = √(c^2 - ( (a - b) / 2 )^2)

Формула для апофемы f правильной треугольной пирамиды: f = √(h^2 + ( (a + b) / 2 )^2)

Дано: a = 4 дм b = 2 дм c = 2 дм

1. Вычислим высоту h: h = √(2^2 - ( (4 - 2) / 2 )^2) h = √(4 - 1) h = √3 дм

2. Вычислим апофему f: f = √(3^2 + ( (4 + 2) / 2 )^2) f = √(9 + 3^2) f = √(9 + 9) f = √18 дм

Ответ: Высота пирамиды h = √3 дм (приблизительно 1.732 дм) Апофема пирамиды f = √18 дм (приблизительно 4.243 дм)