Question

Основание равнобедренного треугольника равно 18 см, а боковая сторона 15 см. Найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.

Answer 1

Сначала ищем площадь треугольника по формуле Герона:
p = 1/2P = 1/2 * (18 + 15 * 2) = 1/2 * 48 = 24
S = √p(p-a)(p-b)(p-c) = √24 * (24 - 15)(24 - 15)(24 - 18) = √24 * 9 * 9 * 6 = √9 * 9 * 6 * 6 * 4 = 9 * 6 * 2 = 108 см2
Радиус вписанной окружности:
 r = 2S / (a + b + c) = 2 * 108 / (15 + 15 + 18) = 216/48 = 4.5 см
Радиус описанной окружности:
R = abc/4S = 15 * 15 * 18/4 * 108 = 4050/432 = 9.375 см

Answer 2

Чтобы найти радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника, нам нужно знать некоторые свойства равнобедренных треугольников.

1. Радиус вписанной окружности: В равнобедренном треугольнике, вписанная окружность касается основания и обеих боковых сторон треугольника. Также известно, что в точке касания радиус вписанной окружности перпендикулярен к стороне треугольника.

2. Радиус описанной окружности: Описанная окружность треугольника проходит через вершины треугольника.

Давайте найдем эти радиусы.

Пусть треугольник ABC - равнобедренный треугольник, где AB (сторона) = AC (основание) = 18 см, а BC (боковая сторона) = 15 см.

1. Радиус вписанной окружности (r): Для нахождения радиуса вписанной окружности воспользуемся формулой: $r = \frac{A}{s},$ где A - площадь треугольника, s - полупериметр треугольника.

Площадь равнобедренного треугольника можно найти по формуле Герона: $A = \sqrt{s(s - AB)(s - AC)(s - BC)},$ где s = (AB + AC + BC)/2 - полупериметр треугольника.

Подставим значения: $s = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{18 + 18 + 15}{2} = 25.5 \text{ см}.$

$A = \sqrt{25.5(25.5 - 18)(25.5 - 18)(25.5 - 15)} \approx 122.34 \text{ см}^2.$

Теперь, найдем радиус вписанной окружности: $r = \frac{A}{s} = \frac{122.34}{25.5} \approx 4.79 \text{ см}.$

Таким образом, радиус вписанной окружности равнобедренного треугольника составляет приблизительно 4.79 см.

2. Радиус описанной окружности (R): Для равнобедренных треугольников известно, что медиана, проведенная из вершины до основания, является биссектрисой угла между боковой стороной и основанием, а также высотой, опущенной на основание.

Таким образом, медиана AM (где M - середина BC) является биссектрисой угла BAC и высотой, опущенной на основание BC.

Мы знаем, что длина стороны BC (боковой стороны) равна 15 см. Половина стороны BC будет равна 7.5 см (половина 15). Таким образом, AM = 7.5 см.

Теперь, для нахождения радиуса описанной окружности (R), мы можем воспользоваться теоремой о радиусе описанной окружности в треугольнике, которая гласит: $R = \frac{ABC}{4r},$ где ABC - площадь треугольника, а r - радиус вписанной окружности.

Мы уже нашли значение r (4.79 см), а площадь треугольника ABC можно найти, зная его основание AC (18 см) и высоту, опущенную на основание AM (7.5 см).

$A_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 7.5 = 67.5 \text{ см}^2.$

Теперь, найдем радиус описанной окружности (R): $R = \frac{ABC}{4r} = \frac{67.5}{4 \cdot 4.79} \approx 3.53 \text{ см}.$

Таким образом, радиус описанной окружности равнобедренного треугольника составляет приблизительно 3.53 см.