Question

Найдите частное решение ОДУ^2: y"-y'-6y=0 с начальными условиями y(0)=1, y'(0)=3. Запишите значение переменной y этого частного решения при значении переменной x, равном 1/3

Answer 1

Характеристическое уравнение k²-k-6=(k+2)*(k-3) имеет действительные неравные корни k1=-2 и k2=3, поэтому общее решение уравнения имеет вид y=C1*e^(-2*x)+C2*e^(3*x). Производная y'=-2*C1*e^(-2*x)+3*C2*e^(3*x). Используя начальные условия, получаем систему уравнений:
C1+C2=1-2*C1+3*C2=3
Решая её, находим C1=0, C2=1. Тогда частное решение уравнения y1=e^(3*x). Если же x=1/3, то y1(1/3)=e^(x).

Ответ: e^(3*x), e^(x).

Answer 2

Для нахождения частного решения данного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) с начальными условиями, мы можем предположить, что решение имеет вид y(x) = e^(rx), где r - некоторая константа. Подставим это предположение в уравнение:

y'' - y' - 6y = 0

Получим:

e^(rx) * (r^2 - r - 6) = 0

Данное уравнение должно быть равно нулю для любого значения x, что означает, что у нас есть следующее квадратное уравнение для r:

r^2 - r - 6 = 0

Для решения этого уравнения используем квадратную формулу:

r = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = 1, b = -1, c = -6

r = (1 ± √(1 - 4 * 1 * (-6))) / 2 r = (1 ± √(1 + 24)) / 2 r = (1 ± √25) / 2 r = (1 ± 5) / 2

Таким образом, получаем два значения r:

r1 = (1 + 5) / 2 = 3 r2 = (1 - 5) / 2 = -2

Теперь у нас есть два линейно независимых частных решения:

y1(x) = e^(3x) y2(x) = e^(-2x)

Общее решение уравнения имеет вид:

y(x) = C1 * e^(3x) + C2 * e^(-2x)

где C1 и C2 - произвольные константы, которые могут быть определены из начальных условий y(0) = 1 и y'(0) = 3:

y(0) = C1 * e^(30) + C2 * e^(-20) = C1 + C2 = 1 y'(0) = 3C1 * e^(30) - 2C2 * e^(-20) = 3C1 - 2C2 = 3

Теперь решим эту систему уравнений для определения C1 и C2:

C1 + C2 = 1 3C1 - 2C2 = 3

Можем выразить C1 из первого уравнения:

C1 = 1 - C2

Подставим это значение C1 во второе уравнение:

3(1 - C2) - 2C2 = 3

Раскроем скобки:

3 - 3C2 - 2C2 = 3

Сгруппируем слагаемые:

-5C2 = 0

Теперь найдем C2:

C2 = 0

Теперь найдем C1:

C1 = 1 - C2 = 1 - 0 = 1

Итак, частное решение ОДУ с заданными начальными условиями будет:

y(x) = e^(3x) + 1

Теперь, чтобы найти значение переменной y при x = 1/3, подставим x = 1/3 в y(x):

y(1/3) = e^(3 * (1/3)) + 1 y(1/3) = e^(1) + 1

Значение e (euler's number) приближенно равно 2.71828, тогда:

y(1/3) = 2.71828 + 1 y(1/3) = 3.71828

Таким образом, значение переменной y при x, равном 1/3, составит 3.71828.