Question

В ряд выстроились 111 гоблинов. Каждый из них либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Каждый гоблин сказал: «Мои соседи по шеренге-лжецы» (некрайние гоблины говорили про двух соседей, а крайние – про одного соседа). Какое наибольшее количество правдивых гоблинов могло быть в шеренге?

Answer 1

Предположим, что в шеренге лжецы и правдивые гоблины не чередуются: то есть есть два подряд идущих гоблина. Очевидно, что если идут два подряд правдивых гоблина, то оба врут, так как говорят, что их соседи лжецы. Аналогично, не могут идти два подряд лживых гоблина. Следовательно, виды гоблинов чередуются через один. Поскольку всего гоблинов нечетное число, то максимальное количество правдивых гоблинов будет в том случае, если шеренгу начинает правдивый гоблин. В таком случае, их количество равно 110/2+1=56

Answer 2

Предположим, что в ряду находятся x правдивых гоблинов и y лживых гоблинов. Так как все гоблины либо всегда говорят правду, либо всегда лгут, то количество гоблинов в ряду равно сумме x и y, т.е., x + y = 111.

Посмотрим на утверждение каждого гоблина:

1. Некрайние гоблины говорят про двух соседей. Это означает, что у каждого из них есть два соседа-гоблина. Если у гоблина рядом справа и слева лжецы, значит он сам правдивец.

2. Крайние гоблины говорят про одного соседа. Это означает, что у каждого из них есть один сосед-гоблин. Если у крайнего гоблина слева лжец, значит он сам правдивец.

Теперь, у нас есть два случая для крайних гоблинов:

1. Если крайний гоблин (пусть это будет первый гоблин) правдивец, то следующий гоблин (2-ой) - лжец, а третий гоблин - правдивец, и так далее. Поэтому, каждый нечетный гоблин будет правдивцем, и каждый четный гоблин будет лжецом. Таким образом, половина из x гоблинов будут правдивцы, а половина из y гоблинов будут лжецы.

2. Если крайний гоблин (пусть это будет первый гоблин) лжец, то второй гоблин - правдивец, третий гоблин - лжец, и так далее. Таким образом, половина из x гоблинов будут лжецы, а половина из y гоблинов будут правдивцы.

Таким образом, у нас есть два случая для распределения правдивых и лживых гоблинов:

1. x / 2 правдивых гоблинов и y / 2 лживых гоблинов (если первый гоблин правдивец).
2. y / 2 правдивых гоблинов и x / 2 лживых гоблинов (если первый гоблин лжец).

Сумма всех гоблинов равна 111, поэтому мы можем записать уравнение:

(x / 2) + (y / 2) = 111

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей:

x + y = 222

Теперь у нас есть система уравнений:

1. x + y = 111
2. x + y = 222

Эта система уравнений несовместна, так как нет решений, которые бы удовлетворяли обоим уравнениям одновременно. Таким образом, задача некорректна, и невозможно определить количество правдивых гоблинов в шеренге.