Question

Найти площадь криволенейной трапеции f(x)=-x^2+2x+3; f(x)=3-x; и построить

Answer 1

Находим определенный интеграл (верхний предел 2, нижний -1)
инт. х²+2х-3 dx = 1/3x³+x²-3x+C
|S|=|(1/3*2³+2²-3*2)-(1/3*(-1)³+(-1)²-3*(-1)|=|(8/3+4-6)-(1/3*(-1)+1+3)|=
=|2/3+1/3-4|=3
S=3
Oтвет: S=3

Answer 2

Для нахождения площади криволинейной трапеции, образованной двумя функциями f(x) = -x^2 + 2x + 3 и f(x) = 3 - x, сначала необходимо определить точки пересечения этих функций. После этого мы сможем найти интеграл функции модуля разности между ними на интервале между точками пересечения, что даст нам площадь криволинейной трапеции.

Шаг 1: Найдем точки пересечения. Для этого приравняем функции друг к другу и решим уравнение:

• x^2 + 2x + 3 = 3 - x

После упрощения получим: x^2 + 3x = 0

Факторизуем: x(x + 3) = 0

Таким образом, x = 0 и x = -3 - это две точки пересечения.

Шаг 2: Найдем площадь криволинейной трапеции.

Площадь криволинейной трапеции между функциями f(x) = -x^2 + 2x + 3 и f(x) = 3 - x на интервале [-3, 0] равна интегралу от модуля разности этих функций на данном интервале:

Площадь = ∫[a, b] |f(x) - g(x)| dx Площадь = ∫[-3, 0] |(-x^2 + 2x + 3) - (3 - x)| dx Площадь = ∫[-3, 0] | -x^2 + 2x + x| dx Площадь = ∫[-3, 0] | -x^2 + 3x| dx

Теперь, найдем этот интеграл:

∫[-3, 0] | -x^2 + 3x| dx = ∫[-3, 0] (x^2 - 3x) dx

Вычислим интеграл:

∫(x^2 - 3x) dx = (x^3/3) - (3x^2/2) + C

Подставим пределы интегрирования:

Площадь = [(0)^3/3 - (30^2/2)] - [(-3)^3/3 - (3(-3)^2/2)] Площадь = [0 - 0] - [(-27/3) - (27/2)] Площадь = 0 + (9/2 + 27/2) = 36/2 = 18 квадратных единиц.

Итак, площадь криволинейной трапеции между функциями f(x) = -x^2 + 2x + 3 и f(x) = 3 - x на интервале [-3, 0] равна 18 квадратных единиц.

Теперь построим графики данных функций и отметим область, которую мы вычислили: