Question

Составьте квадратные уравнения с корнями: 1)2x и у. 2)2x-y и y-x

Answer 1

1. пусть t1 и t2 корни квадратного уравнения аt²+bt+c=0. разделим на a, тем самым приведем уравнение к виду сведенного
t²+bt/a+c/a=0
по условию t1=2x, t2=y
по т. Виета t1t2=c/a
t1+t2=-b/a
t1t2=2xy
t1+t2=2x+y
получаем, что
с/а=2ху
-b/a=2x+y
b/a=-(2x+y), подставим все в общий вид сведенного квадратного уравнения
t²-(2x+y)t+2xy=0

2.пусть t1 и t2 корни квадратного уравнения аt²+bt+c=0. разделим на a, тем самым приведем уравнение к виду сведенного
t²+bt/a+c/a=0
по условию t1=2x-y, t2=y-x
по т. Виета t1t2=c/a
t1+t2=-b/a
t1t2=(2x-y)(y-x)=2xy-2x²-y²+xy=3xy-2x²-y²
t1+t2=2x-y+y-x=x
получаем, что
с/а=3xy-2x²-y²
-b/a=x
b/a=-x, подставим все в общий вид сведенного квадратного уравнения
t²-xt+3xy-2x²-y²=0

Answer 2

Чтобы составить квадратные уравнения с заданными корнями, мы можем использовать факт о том, что корни уравнения будут совпадать с решениями уравнения вида:

$(x - \text{корень}_1) \times (x - \text{корень}_2) = 0$

Таким образом, для каждой пары корней нам нужно записать уравнение, используя этот шаблон.

1. Корни: $2x$ и $y$

Квадратное уравнение с этими корнями будет выглядеть следующим образом:

$(x - 2x) \times (x - y) = 0$

Для упрощения выражения $x - 2x$ просто запишем второе уравнение:

$-x \times (x - y) = 0$

Теперь давайте раскроем скобки:

$-x^2 + xy = 0$

2. Корни: $2x - y$ и $y - x$

Квадратное уравнение с этими корнями будет выглядеть следующим образом:

$(x - (2x - y)) \times (x - (y - x)) = 0$

Для упрощения выражений $x - (2x - y)$ и $x - (y - x)$, выполним арифметические действия:

$(x - 2x + y) \times (x + x - y) = 0$

$(-x + y) \times (2x - y) = 0$

Теперь давайте раскроем скобки:

$-2x^2 + 3xy - y^2 = 0$

Таким образом, квадратные уравнения с заданными корнями будут:

1. $-x^2 + xy = 0$

2. $-2x^2 + 3xy - y^2 = 0$