Question

Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння yy"=(y')^2-(y')^3

Answer 1

Введем функцию t(y) = y'(x). Тогда t' = d(y')/dy = (d(y')/dx) / (dy/dx) = y''/y' = y''/t; y'' = t * t'.

Получим дифференциальное уравнение на t:
y t t' = t^2 - t^3

Запомним, что мы могли потерять решение t = 0, и разделим на t:
y t' = t - t^2

Получилось уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируем:
$y t' = t - t^2\\ \dfrac{dt}{t(1-t)}=\dfrac{dy}y\\ \dfrac{dt}t-\dfrac{dt}{t-1}=\dfrac{dy}y\\ \dfrac{t}{t-1}=-\dfrac y{C_1}\\ 1+\dfrac1{t-1}=-\dfrac{y}{C_1}\\ t(y)=1-\dfrac{1}{\frac y{C_1}+1} =\dfrac{y}{y+C_1}$

В ходе решения ещё могло потеряться решение с t = 1. Возвращаемся к y(x):
$y'=\dfrac{y}{y+C_1}$

Это тоже уравнение с разделяющимися переменными.
$dy+C_1\dfrac{dy}y=dx\\ \boxed{y+C_1\ln|y|=x+C_2}$

Возвращаемся к потерянным решениям:

1) t = 0: y' = 0, y = C
Подставляем в уравнение: C * 0 = 0 - 0 – подходит!
y = C – решение.

2) t = 1: y' = 1, y = x + C
Подставляем в уравнение: (x + C) * 0 = 1^2 - 1^2 – подходит! 
y = x + C – решение, но оно получается из уже выписанного решения при C1 = 0.

Answer 2

Для знаходження загального розв'язку диференціального рівняння yy" = (y')^2 - (y')^3, де y' - це похідна y відносно змінної x, а y" - друга похідна y відносно x, спробуємо скористатися методом розділення змінних.

Позначимо y' як v, тоді y" можна записати як dv/dx. Замінюючи у рівнянні ці похідні, отримаємо:

y * dv/dx = v^2 - v^3

Тепер спробуємо розділити змінні, переносячи все, що містить v на один бік, а все, що містить y на інший бік:

(1/v^2 - 1/v^3) dv = dx/y

Тепер проінтегруємо обидві частини:

∫(1/v^2 - 1/v^3) dv = ∫dx/y

Для лівої частини використаємо простіше представлення:

∫(v^(-2) - v^(-3)) dv

Інтегруємо кожен доданок окремо:

∫v^(-2) dv - ∫v^(-3) dv = ∫dx/y

Інтегрування дає:

• v^(-1) / (-1) + v^(-2) / (-2) = ∫dx/y + C₁

Послідовно спрощуємо:

v^(-1) + 0.5v^(-2) = ∫dx/y + C₁

Тепер підставимо назад y' = v:

1/y' + 0.5/y'^2 = ∫dx/y + C₁

Тепер вирішимо інтеграл ∫dx/y, використовуючи заміну змінної: з = y':

∫dx/y = ∫dx/z

Результатом буде:

∫dx/z = ln|z| + C₂

Замінюємо назад z = y':

∫dx/y = ln|y'| + C₂

Тепер підставимо отриманий результат у рівняння:

1/y' + 0.5/y'^2 = ln|y'| + C₂ + C₁

Де C₁ і C₂ - це константи інтегрування.

Щоб продовжити, необхідно більше умов або початкових умов, які допоможуть визначити значення констант інтегрування та знайти частковий розв'язок. Таким чином, загальний розв'язок може бути представлений у вигляді:

1/y' + 0.5/y'^2 = ln|y'| + C

де С - константа інтегрування.