Question

Найти промежутки монотонности следующих функций: 1) f (x) = х2 – 8х + 12; 2) у= 1/2х; 3) у = ln х;

Answer 1

По виета корни 6 и 2 х вершины (6+2)/2=4  параболы ветвями вверх. значит убывание х∠4    (-∞,4),возрастание 4∠х   (4,+∞)
2) у=-1/2х² всегда отрицательна. значит область убывания при всех Х,кроме 0.
3) производная ланХ=1/х поскольку Х больше нуля,значит функция растет на всем протяжении области определения (0,∞)

Answer 2

Для нахождения промежутков монотонности функций необходимо вычислить производные функций и определить знаки производных на соответствующих интервалах. Если производная положительна на каком-то интервале, то функция монотонно возрастает на этом интервале. Если производная отрицательна, то функция монотонно убывает на этом интервале.

1. Функция: f(x) = x^2 - 8x + 12 Вычислим производную функции: f'(x) = 2x - 8

Теперь найдем точки, где производная равна нулю: 2x - 8 = 0 2x = 8 x = 4

Теперь определим знаки производной на различных интервалах: Для x < 4, возьмем x = 3: f'(3) = 2(3) - 8 = -2 (отрицательная производная) Для x > 4, возьмем x = 5: f'(5) = 2(5) - 8 = 2 (положительная производная)

Промежутки монотонности:

• Функция монотонно убывает на интервале (-∞, 4)
• Функция монотонно возрастает на интервале (4, +∞)

2. Функция: y = 1/(2x) Вычислим производную функции: y' = -1/(2x^2)

Знак производной зависит от знака числителя: При x > 0: y' < 0 (отрицательная производная) При x < 0: y' > 0 (положительная производная)

Промежутки монотонности:

• Функция монотонно убывает на интервале (-∞, 0)
• Функция монотонно возрастает на интервале (0, +∞)

3. Функция: y = ln(x) Вычислим производную функции: y' = 1/x

Знак производной зависит от знака выражения 1/x: При x > 0: y' > 0 (положительная производная) При x < 0: y' < 0 (отрицательная производная)

Промежутки монотонности:

• Функция монотонно возрастает на интервале (0, +∞)

Обратите внимание, что логарифмическая функция определена только для положительных значений x (x > 0).