Question

Обчистить площадь фигуры, которая ограничена линиями y=x²-4x+2 и y=x+2

Answer 1

x^2-4x+2=x+2

x^2-4x+2-x-2=0

x^2-5x=0

x*(x-5)=0

x=0 x=5

(0;5) S (x^2-5x)dx= x^3/3-5x^2/2 | (0;5) = 125/3 - 125/2 = 250-375/6 = -125/6=125/6 т.к. площадь не может быть отрицательной

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми, нужно найти точки их пересечения и найти интеграл от разности их уравнений в пределах этих точек.

1. Начнем с нахождения точек пересечения кривых:

   Пусть y = x² - 4x + 2 и y = x + 2. Когда эти два уравнения равны между собой, у нас будет точка пересечения.

   x² - 4x + 2 = x + 2

2. Приведем уравнение квадратного полинома в стандартную форму:

   x² - 4x + 2 - x - 2 = 0

   x² - 5x = 0

3. Факторизуем:

   x(x - 5) = 0

   x₁ = 0 x₂ = 5

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: (0, 2) и (5, 7).

Теперь находим площадь фигуры между этими кривыми. Для этого возьмем интеграл разности уравнений кривых в пределах от x = 0 до x = 5:

Площадь = ∫[0 to 5] (x + 2 - (x² - 4x + 2)) dx

После расчетов:

Площадь = ∫[0 to 5] (-x² + 5x) dx

Площадь = [-x³/3 + (5x²)/2] [0 to 5]

Площадь = [-125/3 + (125/2)] - [0]

Площадь = [-125/3 + 125/2]

Площадь = 125/6

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² - 4x + 2 и y = x + 2, равна 125/6 или приблизительно 20.83 квадратных единиц.