Question

Найдите точки экстремума:у=х(в четвёртой степени)-4х(в Кубе)-8х(в квадрате)+13

Answer 1

Точки экстремума - это критические точки,  проходя через которые производная меняет знак. 
Дифференцируем вашу функцию, получаем y' = 4x^3+12x^2-16x. 
Приравниваем производную к нулю y'=0 
4x^3+12x^2-16x =0 
4x(x^2+3x-4) = 0 
x=-4    x=0  x=1 Мы нашли три критические точки, разбивающие область определения производной на 3 интервала. Осталось проверить, будет ли наблюдаться смена знака на каждом интервале. Перепишем функцию производной, разложив квадратный трехчлен на множители: 
y'=4x(x+4)(x-1). Как мы видим каждой из множителей в первой степени, следовательно, y' будет менять знак проходя через каждую из указанных выше точек. Ответ: точки экстремума x= -4, 0 и 1. 

Answer 2

Для нахождения точек экстремума функции у = х^4 - 4х^3 - 8х^2 + 13, необходимо найти её производную и приравнять её к нулю, затем решить уравнение для x.

Шаг 1: Найдем производную функции у по х. д(у)/дх = 4х^3 - 12х^2 - 16х

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и решим уравнение. 4х^3 - 12х^2 - 16х = 0

Шаг 3: Факторизуем уравнение и найдем значения х. 4х(x^2 - 3x - 4) = 0

Теперь решим квадратное уравнение x^2 - 3x - 4 = 0

x^2 - 3x - 4 = 0 (x - 4)(x + 1) = 0

x = 4 или x = -1

Таким образом, у нас есть две точки, где производная функции равна нулю, а именно x = 4 и x = -1. Чтобы определить, является ли каждая из этих точек точкой экстремума, мы можем построить таблицу знаков для производной функции в окрестности этих точек.

Для x < -1: Подставим x = -2 в производную: 4*(-2)^3 - 12*(-2)^2 - 16*(-2) = -32 - 48 + 32 = -48 Производная меньше нуля, так как коэффициент перед x^3 положительный, а перед x^2 и x отрицательный.

Для -1 < x < 4: Подставим x = 0 в производную: 40^3 - 120^2 - 16*0 = 0 Производная равна нулю.

Для x > 4: Подставим x = 5 в производную: 45^3 - 125^2 - 16*5 = 500 - 300 - 80 = 120 Производная больше нуля, так как коэффициент перед x^3 положительный, а перед x^2 и x отрицательный.

Таким образом, при x < -1 и x > 4 производная функции у больше или меньше нуля, что означает, что функция у монотонно возрастает или убывает в этих интервалах. Таким образом, точки x = -1 и x = 4 являются точками локальных экстремумов.

Для x = -1: Подставим x = -1 в исходную функцию: у = (-1)^4 - 4*(-1)^3 - 8*(-1)^2 + 13 = 1 + 4 - 8 + 13 = 10 Таким образом, у(х = -1) = 10.

Для x = 4: Подставим x = 4 в исходную функцию: у = 4^4 - 44^3 - 84^2 + 13 = 256 - 256 - 128 + 13 = -115 Таким образом, у(х = 4) = -115.

Итак, точки экстремума функции у = х^4 - 4х^3 - 8х^2 + 13:

1. Локальный максимум: (4, -115)
2. Локальный минимум: (-1, 10)