Question

Помогите плиз!! Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения x"-2x'+x=e^t

Answer 1

Рассмотрите предложенное решение; оформление не соблюдалось.

Answer 2

Для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка вида x'' - 2x' + x = e^t, мы сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения, а затем будем искать частное решение неоднородного уравнения. Общее решение неоднородного уравнения будет суммой общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

1. Найдем общее решение однородного уравнения x'' - 2x' + x = 0:

Предположим, что решение имеет вид x(t) = e^(rt), где r - неизвестная константа.

Тогда, найдем характеристическое уравнение:

r^2 - 2r + 1 = 0.

Решим характеристическое уравнение:

(r - 1)^2 = 0.

Таким образом, у нас есть двукратный корень r = 1.

Общее решение однородного уравнения:

x(t) = C1 * e^(t) + C2 * t * e^(t), где C1 и C2 - произвольные константы.

2. Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения x'' - 2x' + x = e^t:

Предположим, что частное решение имеет вид x(t) = At * e^(t), где A - неизвестная константа.

Подставим это предположение в исходное уравнение:

(A * t * e^(t))'' - 2 * (A * t * e^(t))' + (A * t * e^(t)) = e^t.

Выполним дифференцирование:

(A * e^(t) + A * t * e^(t)) - 2 * (A * e^(t) + A * t * e^(t)) + (A * t * e^(t)) = e^t.

Упростим:

A * e^(t) + A * t * e^(t) - 2 * A * e^(t) - 2 * A * t * e^(t) + A * t * e^(t) = e^t.

Теперь сгруппируем слагаемые:

(-2A + A) * e^(t) + (A + 1) * t * e^(t) = e^t.

Из этого следует:

A + 1 = 1, -2A + A = 0.

Отсюда получаем, что A = 0.

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения равно x(t) = 0.

3. Общее решение неоднородного уравнения:

x(t) = C1 * e^(t) + C2 * t * e^(t) + 0.

Итак, окончательное общее решение:

x(t) = C1 * e^(t) + C2 * t * e^(t),

где C1 и C2 - произвольные константы.