Question

Найдите производную сложной функции y=(x²+6)√x²-3

Answer 1

$y=(x^2+6) \sqrt{x^2-3} \\ \\ y'=(x^2+6)'* \sqrt{x^2-3}+ \sqrt{x^2-3}'*(x^2+6)= \\ \\ 2x* \sqrt{x^2-3}+ \frac{2x(x^2+6)}{2 \sqrt{x^2-3}} = \\ \\ \frac{2x(x^2-3)+x^3+12x}{ \sqrt{x^2-3} } = \frac{3x^3}{ \sqrt{x^2-3} }$

Answer 2

Для нахождения производной сложной функции, нужно использовать правило дифференцирования сложной функции (chain rule). Данная функция y представляет собой произведение двух функций: u(x) = x² + 6 и v(x) = √(x² - 3). Производная сложной функции будет равна произведению производной первой функции и производной второй функции.

Давайте найдем производные этих функций:

1. Найдем производную функции u(x) = x² + 6: d/dx [x² + 6] = 2x.

2. Найдем производную функции v(x) = √(x² - 3): Для этого воспользуемся правилом дифференцирования функции вида √(u(x)): d/dx [√(u(x))] = (1/2√(u(x))) * u'(x), где u'(x) - производная функции u(x).

В нашем случае, u(x) = x² - 3: d/dx [√(x² - 3)] = (1/2√(x² - 3)) * (d/dx [x² - 3]) = (1/2√(x² - 3)) * (2x) = x / √(x² - 3).

Теперь, используем правило дифференцирования сложной функции:

dy/dx = du/dx * dv/dx = (2x) * (x / √(x² - 3)) = 2x² / √(x² - 3).

Таким образом, производная функции y=(x²+6)√(x²-3) равна 2x² / √(x² - 3).