Question

Дослідити на екстремум функцію y=x-2lnx

Answer 1

Область определения функции х>0
у'=1-2/x
y'=0
1-2/x=0
(x-2)x=0
 х=0; х=2
определим знаки производной на интервалах
при х∈(0;2) у'<0  у убывает
при х∈(2;+∞) y'>0 y возрастает
в точке x=2 минимум
 

Answer 2

Щоб дослідити функцію на екстремум, спершу знайдемо похідну та прирівняємо її до нуля, щоб знайти критичні точки. Після цього, скористаємося другою похідною для визначення типу цих точок (мінімум, максимум або точка перегину).

Дано функцію: $y = x - 2\ln{x}$

Крок 1: Знайдемо похідну функції y за x: $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{2}{x}$

Крок 2: Знайдемо критичні точки, прирівнявши похідну до нуля і розв'язавши рівняння: $1 - \frac{2}{x} = 0$

Розв'язавши рівняння, отримаємо: $\frac{2}{x} = 1$ $x = 2$

Крок 3: Визначимо тип критичної точки, скориставшись другою похідною: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2}{x^2}$

Підставимо критичну точку x = 2 у другу похідну: $\frac{d^2y}{dx^2}(x=2) = \frac{2}{2^2} = \frac{1}{2}$

Якщо $\frac{d^2y}{dx^2}(x=2) > 0$, то функція має мінімум у точці x = 2. Інакше, якщо $\frac{d^2y}{dx^2}(x=2) < 0$, то функція має максимум. Але, як ми бачимо, друга похідна додатня, тому у точці x = 2 функція має мінімум.

Крок 4: Знайдемо значення y у цій критичній точці: $y = x - 2\ln{x}$ $y = 2 - 2\ln{2}$

Таким чином, мінімальне значення функції y=x-2lnx є $y = 2 - 2\ln{2}$, а досягається в точці $x = 2$.