Question

Сумма трех различных целых положительных чисел равна 80. Какое наибольшее значение может принять сумма трех их попарных разностей? В каждой разности из большего числа вычитается меньшее. Обоснуйте свой ответ.

Answer 1

Пусть даны три числа a>b>c, a+b+c=80; Тогда сумма трех попарных разностей равна a-b+a-c+b-c = 2a-2c = 2(a-c); Это выражение максимально, когда a - максимально, а c - минимально. С учетом a,b,c>0 получаем, что наименьшее значение c=1; Если a=79, то b=0, что противоречит условию; Если a=78, то b=c=1, что также противоречит условию. Значит a=77, b=2, c=1.

Максимальное значение попарных разностей равно 2*(77-1) = 152

Answer 2

Давайте обозначим три различных целых положительных числа как a, b и c, где a < b < c.

У нас есть условие, что сумма трех чисел равна 80, то есть: a + b + c = 80

Теперь рассмотрим сумму попарных разностей: (a - b) + (b - c) + (a - c)

Преобразуем эту сумму: (a + b + c) - 2b - 2c = 80 - 2b - 2c

Так как нам нужно максимизировать эту сумму, мы должны минимизировать значения 2b и 2c. В идеале, нам нужно, чтобы b и c были максимальными, так как это положительные целые числа.

Мы знаем, что a + b + c = 80, поэтому: c = 80 - a - b

Теперь, чтобы максимизировать 2c, мы должны минимизировать a и b. Поскольку a < b < c, наибольшее значение a будет 1, и наибольшее значение b будет 2. Тогда c = 80 - 1 - 2 = 77.

Таким образом, наибольшее значение суммы попарных разностей будет: 80 - 2 * 2 - 2 * 77 = 80 - 4 - 154 = -78

Итак, наибольшее значение суммы попарных разностей равно -78.