Question

Перпендикуляр, опущений з точки кола на його діаметр, ділить діаметр на два відрізки, один з яких на 27 см більший за інший . Знайдіть довжину кола, якщо довжина перпендикуляра дорівнює 18 см

Answer 1

АС - диаметр
ВН - перпендикуляр

Треугольник АВС прямоугольный, так как опирается на диаметр.
Пусть АН = х, тогда СН = х + 27
Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, отсюда:
х(х+27) = 18²
x² + 27x - 324 = 0
D = 729 + 1296 = 2025 = 45²
x₁ = (-27-45)/2 = -36   не удовлетворяет условию
х₂ = (-27+45)/2 = 9

АН = 9 см
СН = 9 + 27 = 36 см
AC = AH + CH = 9 + 36 = 45 см - диаметр

Найдем длину окружности:
С = πD = 45π (cм)

Ответ: 45π см.

Answer 2

Позначимо довжину одного з відрізків, на які ділить діаметр перпендикуляр, як х. Тоді довжина другого відрізка буде х + 27.

Застосуємо теорему Піфагора для прямокутного трикутника, утвореного діаметром кола, перпендикуляром і половиною діаметра (так як діаметр поділений перпендикуляром на два відрізки):

(перпендикуляр)² + (половина діаметра)² = (діаметр)²

18² + (х + 27)² = (2х + 27)²

Порахуємо дане рівняння:

324 + x² + 54x + 729 = 4x² + 108x + 729

Розпишемо та скоротимо:

x² + 54x + 324 = 0

Тепер ми маємо квадратне рівняння. Розв'яжемо його за допомогою квадратного кореня:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

де a = 1, b = 54, c = 324:

x = (-(54) ± √(54² - 4 * 1 * 324)) / 2 * 1

x = (-54 ± √(2916 - 1296)) / 2

x = (-54 ± √1620) / 2

x = (-54 ± 2√405) / 2

Тепер розділимо на 2:

x₁ = (-54 + 2√405) / 2

x₁ = -27 + √405 ≈ 3.18

x₂ = (-54 - 2√405) / 2

x₂ = -27 - √405 ≈ -30.18

Так як довжина відрізка не може бути від'ємною, відкидаємо від'ємний корінь. Тому х ≈ 3.18 см.

Тепер знайдемо довжину другого відрізка:

х + 27 ≈ 3.18 + 27 ≈ 30.18 см

Тепер, коли ми знаємо довжини двох відрізків, можемо знайти довжину діаметра:

Діаметр = х + (х + 27) = 3.18 + 30.18 = 33.36 см

Так як діаметр кола дорівнює 33.36 см, то довжина кола дорівнює:

Довжина кола = π * діаметр ≈ 3.14 * 33.36 ≈ 104.81 см

Отже, довжина кола приблизно дорівнює 104.81 см.