Question

Найти экстремумы функции y=2x^3-3x^2-12x+5

Answer 1

Y'=6x^2-6x-12=0

6(x^2-x-2)=0

x^2-x-2=0
D=1+8=9
x1=(1+3)/2=4/2=2
x2=(1-3)/2=-2/2=-1

    +               __              +
_____-1_________2________
y(-1)=-2-3+12+5=12
y(2)=16-12-24+5-15
fmin = -15
fmax=12

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции $y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5$, нужно найти точки, в которых производная функции равна нулю. Эти точки будут являться кандидатами на экстремумы.

Шаги для нахождения экстремумов:

1. Найдите производную функции $y$ по переменной $x$.
2. Решите уравнение $y' = 0$ для нахождения точек, в которых производная равна нулю.
3. Проверьте, является ли каждая найденная точка минимумом или максимумом с помощью второй производной.

Итак, начнем с первого шага:

1. Найдем производную функции $y$ по переменной $x$:

$y' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 - 12x + 5)$

Чтобы найти производную, возьмем производную каждого члена функции по отдельности:

$y' = \frac{d}{dx}(2x^3) - \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(12x) + \frac{d}{dx}(5)$

$y' = 6x^2 - 6x - 12$

2. Решим уравнение $y' = 0$ для нахождения точек, в которых производная равна нулю:

$6x^2 - 6x - 12 = 0$

3. Решим квадратное уравнение:

$x^2 - x - 2 = 0$

Для нахождения корней, воспользуемся формулой дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac$

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

Так как дискриминант положителен, у уравнения два различных корня:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1$

Теперь у нас есть две точки, в которых производная равна нулю: $x = 2$ и $x = -1$.

4. Проверим, является ли каждая найденная точка минимумом или максимумом с помощью второй производной:

Чтобы это сделать, найдем вторую производную функции $y$ по переменной $x$:

$y'' = \frac{d^2}{dx^2}(6x^2 - 6x - 12)$

Для этого найдем производную каждого члена производной первой производной:

$y'' = \frac{d}{dx}(6x^2) - \frac{d}{dx}(6x) - \frac{d}{dx}(12)$

$y'' = 12x - 6$

Теперь подставим найденные значения $x$ и посмотрим на знак $y''$ в каждой точке:

1. $x = 2$: $y''(2) = 12 \cdot 2 - 6 = 18$