Question

Решите неравенство: [tex] \frac{(x-2)(2x+7)}{4-x} \geq 0. [/tex] C полным пояснением пожалуйста

Answer 1

Дробные неравенства ВСЕГДА решаются одинаково.
1. Все переносим влево, справа 0
2. Приводим к общему знаменателю
3.Раскладываем на множители
4. Метод интервалов

Вам повезло, первые три пункта уже проделаны, начнем с 4.
Метод интервалов. Суть, что каждый множитель (т.е. каждую скобочку) отедльно надо приравнять к 0 и найти иксы.
х-2=0        х=2
2х+7=0     х=-7/2=-3,5
4-х=0        х=4
Теперь рисуем числовую прямую и отмечаем эти точки (точки знаменателя всегда незакрашены, а числитель в зависимости от знака неравенства..у нас больше или РАВНО значит точки числителя закрашиваем)
Теперь расставляем знаки интервалов. Справа налево. Подставляем любое число из саиого правого интервала (например, 100) в каждый множитель вместо х и смотрим какой знак + или - будет получаться.
Потом эти знаки перемножаем. У нас получается + + и внизу - . При перемножении выходит минус. Остальные знаки на интервалах чередуем.
_________________________________⇒
     +         -3,5      -       2       +        4    -

У нас больше 0, значит наши интервалы с плюсами
Ответ: xэ (-∞; -3,5] [2;4)

Answer 2

Критические точки будут: х-2=0, 2х+7=0 и 4-х≠0. Отсюда получаем х=2; х=-3,5 и х≠4. Решая методом интервалов, получаем ответ: (-бесконечность; -3,5]U[2;4)

Answer 3

Чтобы решить данное неравенство, мы должны определить интервалы значений переменной x, при которых неравенство [tex]\frac{(x-2)(2x+7)}{4-x} \geq 0[/tex] выполняется.

Для начала, определим точки разрыва функции, которые возникают, когда знаменатель равен нулю. Таким образом, нужно решить уравнение [tex]4-x=0[/tex].

[tex]4-x=0[/tex]

Теперь найдем корень уравнения:

[tex]x=4[/tex]

Таким образом, функция имеет точку разрыва в [tex]x=4[/tex].

Теперь мы можем построить таблицу знаков для выражения [tex]\frac{(x-2)(2x+7)}{4-x}[/tex].

Используем значения важных точек на числовой оси, а именно: x=2, x=4, x=-7/2 (корни многочлена).

<table> <tr> <td>Интервал</td> <td>x-2</td> <td>2x+7</td> <td>4-x</td> <td>(x-2)(2x+7)/(4-x)</td> </tr> <tr> <td>x < -\frac{7}{2}</td> <td>-</td> <td>-</td> <td>+</td> <td>-</td> </tr> <tr> <td>-\frac{7}{2} < x < 2</td> <td>-</td> <td>-</td> <td>-</td> <td>+</td> </tr> <tr> <td>2 < x < 4</td> <td>+</td> <td>+</td> <td>-</td> <td>0</td> </tr> <tr> <td>x > 4</td> <td>+</td> <td>+</td> <td>+</td> <td>+</td> </tr> </table>

Таким образом, неравенство [tex]\frac{(x-2)(2x+7)}{4-x} \geq 0[/tex] выполняется на интервалах:

1. [tex]x < -\frac{7}{2}[/tex]
2. [tex]-\frac{7}{2} < x < 2[/tex]
3. [tex]x > 4[/tex]

Исходное неравенство верно на этих интервалах значений переменной x.