Question

Покажите, что для каждого числа многочлен P(x) = b₀ + b₁x + b₂x² + ... + bₐxᵃ можно также записать в виде P(x) = g₀ + g₁(x-c) + g₂(x-c)² + ... + gₐ(x-c)ᵃ где g₀ = P(c) Покажите, что gₐ ≠ 0, если bₐ ≠ 0. Переписал так же как и в книге. Или очень корявое условие этой задачи или я чего то не понимаю.....

Answer 1

Ответ:

P(x) = b₀ + b₁x + b₂x² + ... + bₐxᵃ = g₀ + g₁(x-c) + g₂(x-c)² + ... + gₐ(x-c)ᵃ, отсюда:

g₀ + g₁(x-c) + g₂(x-c)² + ... + gₐ(x-c)ᵃ= b₀ + b₁x + b₂x² + ... + bₐxᵃ , где g₀=P(c). Подставляем значение: P(c) + g₁x + g₂x² + ... + gₐxᵃ = b₀ + b₁x + b₂x² + ... + bₐxᵃ. Т.е. g₁x = b₁x; g₂x²=b₂x²; gₐxᵃ=bₐxᵃ, отсюда, если bₐxᵃ ≠ 0, то и gₐxᵃ ≠ 0.

Answer 2

Условие задачи сформулировано корректно, и вы правильно переписали его. Давайте докажем это утверждение.

У нас есть многочлен вида: $P(x) = b_0 + b_1x + b_2x^2 + \ldots + b_a x^a.$

И нам нужно показать, что этот многочлен можно представить в виде: $P(x) = g_0 + g_1(x-c) + g_2(x-c)^2 + \ldots + g_a(x-c)^a,$ где $g_0 = P(c)$ и $g_a \neq 0$ при $b_a \neq 0$.

Доказательство:

Мы знаем, что в многочлене $P(x)$, коэффициенты $b_0, b_1, \ldots, b_a$ определены так, что: $P(c) = b_0 + b_1c + b_2c^2 + \ldots + b_ac^a.$

Теперь представим многочлен $P(x)$ в виде: $P(x) = g_0 + g_1(x-c) + g_2(x-c)^2 + \ldots + g_a(x-c)^a.$

Поскольку $g_0 = P(c)$, подставим $x = c$ в эту формулу: $P(c) = g_0 + g_1(c-c) + g_2(c-c)^2 + \ldots + g_a(c-c)^a.$

Так как $c-c = 0$ и любое число, возведенное в степень 0, равно 1, получим: $P(c) = g_0 + 0 + 0 + \ldots + 0 = g_0.$

Таким образом, мы видим, что $P(c) = g_0$, что соответствует начальному условию $g_0 = P(c)$.

Теперь обратим внимание на коэффициент $g_a$, который стоит при $(x-c)^a$ в разложении многочлена $P(x)$. Этот коэффициент соответствует коэффициенту $b_a$ в исходном многочлене $P(x)$. Если $b_a \neq 0$, то при разложении многочлена $(x-c)^a$ в этом слагаемом будет ненулевой коэффициент $b_a$, и, следовательно, $g_a$ будет ненулевым.

Таким образом, если $b_a \neq 0$, то $g_a \neq 0$, что и требовалось доказать. Это доказывает, что данное представление для многочлена $P(x)$ верно и удовлетворяет условиям задачи.