Question

Покажите, что для каждого числа c многочлен P(x) = b₀ + b₁x + b₂x² + ... + bₐxᵃ можно также записать в виде P(x) = g₀ + g₁(x-c) + g₂(x-c)² + ... + gₐ(x-c)ᵃ где g₀ = P(c) Покажите, что gₐ ≠ 0, если bₐ ≠ 0. Переписал так же как и в книге. Или очень корявое условие этой задачи или я чего то не понимаю.....

Answer 1

Ответ в приложении ниже

Answer 2

Покажем, что для каждого числа c и многочлена P(x) = b₀ + b₁x + b₂x² + ... + bₐxᵃ можно записать его представление в виде P(x) = g₀ + g₁(x-c) + g₂(x-c)² + ... + gₐ(x-c)ᵃ, где g₀ = P(c).

Мы можем записать P(x) в виде:

P(x) = b₀ + b₁x + b₂x² + ... + bₐxᵃ

Раскроем скобки в выражении (x-c)ᵃ:

(x-c)ᵃ = xᵃ - aₐ₋₁c + aₐ₋₂c² - aₐ₋₃c³ + ... + (-1)ᵃcᵃ

Теперь домножим каждый коэффициент aₖ на bₖ и получим новые коэффициенты gₖ:

g₀ = b₀

g₁ = b₁ - a₀c

g₂ = b₂ - a₁c + a₀c²

...

gₐ = bₐ - aₐ₋₁c + aₐ₋₂c² - aₐ₋₃c³ + ... + (-1)ᵃcᵃ₋₁

Заметим, что g₀ = P(c). Теперь покажем, что gₐ ≠ 0, если bₐ ≠ 0.

Если bₐ ≠ 0, то в выражении gₐ = bₐ - aₐ₋₁c + aₐ₋₂c² - aₐ₋₃c³ + ... + (-1)ᵃcᵃ₋₁ есть по меньшей мере одно слагаемое, содержащее bₐ, которое не может быть скомпенсировано остальными слагаемыми. Следовательно, gₐ ≠ 0.

Таким образом, мы показали, что для любого числа c и многочлена P(x) = b₀ + b₁x + b₂x² + ... + bₐxᵃ можно записать его представление в виде P(x) = g₀ + g₁(x-c) + g₂(x-c)² + ... + gₐ(x-c)ᵃ, где g₀ = P(c), и gₐ ≠ 0, если bₐ ≠ 0.