Question

Найти grad z, |grad_z| и производную по направлению dx/dl(dz/dp) в точке A(x;y)=(1;1); l=p=(-20;-15): z=ln(2x^2-y^2-3x+4y+1)

Answer 1

Ловите подробное решение.
Алгоритм следующий:
Для градиента дифференцируем, записываем градиент, находим его значение в точке А, подставляя в выражение координаты этой точки.
Поскольку это вектор, его модуль находится по известной формуле как корень из суммы квадратов векторных координат.
Для производной в точке по направлению вектора v фактически делаем этот вектор нормированным (ещё называют это нахождением направляющих углов). Далее находим скалярное произведение вектора градиента на этот нормированный вектор.
Удачи вам!

Answer 2

Для начала найдем градиент функции z(x, y):

Пусть z = ln(2x^2 - y^2 - 3x + 4y + 1).

Градиент функции z(x, y) состоит из частных производных функции по x и y:

grad z = (∂z/∂x, ∂z/∂y).

Вычислим частные производные:

∂z/∂x = 2x/(2x^2 - y^2 - 3x + 4y + 1),

∂z/∂y = -2y/(2x^2 - y^2 - 3x + 4y + 1).

Теперь найдем градиент в точке A(x; y) = (1; 1):

grad z(A) = (21/(21^2 - 1^2 - 31 + 41 + 1), -21/(21^2 - 1^2 - 31 + 41 + 1)),

grad z(A) = (2/(2 - 1 - 3 + 4 + 1), -2/(2 - 1 - 3 + 4 + 1)),

grad z(A) = (2/3, -2/3).

Теперь найдем значение |grad_z| (модуля градиента) в точке A:

|grad_z(A)| = √((2/3)^2 + (-2/3)^2),

|grad_z(A)| = √(4/9 + 4/9),

|grad_z(A)| = √(8/9),

|grad_z(A)| = √(8)/3,

|grad_z(A)| = 2√(2)/3.

Наконец, найдем производную по направлению dx/dl(dz/dp) в точке A(x; y) = (1; 1); l=p=(-20;-15):

Для этого нам понадобится направляющий вектор направления l = (dx/dl, dy/dl).

dx/dl = -20, dy/dl = -15.

Теперь найдем производную по направлению dx/dl(dz/dp) в точке A:

dx/dl(dz/dp) = dx/dl * (∂z/∂x) + dy/dl * (∂z/∂y),

dx/dl(dz/dp) = (-20) * (2/(2 - 1 - 3 + 4 + 1)) + (-15) * (-2/(2 - 1 - 3 + 4 + 1)),

dx/dl(dz/dp) = (-20) * (2/3) + (-15) * (-2/3),

dx/dl(dz/dp) = (-40/3) - (-30/3),

dx/dl(dz/dp) = (-40 + 30)/3,

dx/dl(dz/dp) = -10/3.

Таким образом, градиент z в точке A равен (2/3, -2/3), |grad_z| = 2√(2)/3, а производная по направлению dx/dl(dz/dp) в точке A равна -10/3.