Question

Помогите оладушки. Найти три целых положительных числа, которые образовывают геометрическую прогрессию, такие, что если второе число увеличить на 8, то образуется арифметическая прогрессия, а если после этого увеличить третье число на 64, то снова образуется геометрическая прогрессия.

Answer 1

Я хоть и не оладушек, но помогу.

Пусть x; y; z - данные целые положительные числа.

Т.к. они образуют геом. прогрессию, то верно равенство y²=xz.

После увеличения второго числа у на 8 получим ряд х; у+8; z, который образует арифм. прогрессию. Для такой прогрессии верно равенство 2(у+8)=x+z.

Наконец, после увеличения третьего числа z на 64 получим ряд х; у+8; z+64, который образует геом. прогрессию. Для такой прогрессии верно равенство (y+8)²=x(z+64).

Таким образом, получена система уравнений:

$\begin {cases} y^2=xz \\ 2(y+8)=x+z \\ (y+8)^2=x(z+64) \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} y^2=xz \\ 2y+16=x+z \\ (y+8)^2=xz+64x \end {cases} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \begin {cases} y^2=xz \\ 2y+16=x+z \\ y^2+16y+64=y^2+64x \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} y^2=xz \\ 2y+16=x+z \\ 16y+64=64x \end {cases} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \begin {cases} y^2=xz \\ 2y+16=x+z \\ y+4=4x \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} y^2=xz \\ y=4x-4 \\ z=2y+16-x=8x-8+16-x =7x+8 \end {cases}\\ \Leftrightarrow \begin {cases} (4x-4)^2=x(7x+8) \\ y=4x-4 \\ z=7x+8 \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} 16x^2-32x+16=7x^2+8x \\ y=4x-4 \\ z=7x+8 \end {cases} \Rightarrow$

$\Leftrightarrow \begin {cases} 9x^2-40x+16=0 \\ y=4x-4 \\ z=7x+8 \end {cases} \Rightarrow \begin {cases} x_1=\frac{4}{9};\ x_2=4 \\ y=4x-4 \\ z=7x+8 \end {cases}$

$x=\frac{4}{9} \notin Z \Rightarrow x=4 \Rightarrow \begin {cases} x=4 \\ y=12 \\ z=36 \end {cases}$

Значит, 4, 12 и 36 - искомые целые положительные числа, которые образуют геом. прогрессию.

Ответ: 4; 12; 36.

Answer 2

Давайте обозначим три числа в геометрической прогрессии как a, ar и ar^2, где "a" - первый элемент прогрессии, "r" - её знаменатель (отношение между соседними элементами).

Теперь, учитывая условия:

1. Если второе число увеличить на 8, то образуется арифметическая прогрессия. Значит, второй элемент арифметической прогрессии будет равен a + 8.

2. Если после этого увеличить третье число на 64, то снова образуется геометрическая прогрессия. Значит, третий элемент геометрической прогрессии будет равен (a + 8) + 64.

Теперь у нас есть все три элемента геометрической прогрессии, и мы можем записать уравнение:

a, a + 8, (a + 8) + 64 = a, ar, ar^2

Теперь приравняем соответствующие элементы:

a = a (первый элемент) a + 8 = ar (второй элемент) (a + 8) + 64 = ar^2 (третий элемент)

Решим систему уравнений:

1. Из второго уравнения выразим "a": a = (a + 8) / r

2. Подставим это значение в третье уравнение: ((a + 8) / r) + 64 = ((a + 8) / r) * r^2

3. Упростим уравнение: (a + 8) * r + 64 * r^3 = a + 8

4. Переносим все в левую часть уравнения: (a + 8) * r + 64 * r^3 - a - 8 = 0

5. Факторизуем уравнение (применяем синтетическое деление): r^3 - 1 = 0

6. Решаем уравнение: r^3 = 1

Отсюда следует, что r = 1, так как мы ищем только положительные числа.

Теперь, найдя значение r, можем вернуться к первому уравнению и найти "a":

a = (a + 8) / r a = (a + 8) / 1 a = a + 8

Таким образом, получаем уравнение:

a = a + 8

Что невозможно, так как числа должны быть положительными, и нет решений для данного уравнения.

Таким образом, задача не имеет решения с целыми положительными числами, удовлетворяющими всем условиям.