Question

уравнение |x^2-4*x-1|=a имеет четыре различных корня если: 1) a=10 2) a=8 3) a>6 4) a принадлежит (0;5) 5) a не существует?

Answer 1

Молульное выражение либо равно нулю, либо больше нуля. При нулевом значении, модуль можно отбросить, но тогда уравнение не будет иметь 4 корня, так что параметр строго больше нуля.

Квадратное уравнение может иметь два различных корня. В добавок, так как оно в модуле, то можно рассмотреть два случая, где оно может принимать как отрицательное, так и положительное значения. Тогда добавляются еще пару решений исходного уравнения.

Чтобы квадратное уравнение имело два различных действительных корня дискриминант должет быть положителен, то есть больше нуля.

Answer 2

Чтобы найти количество различных корней уравнения |x^2 - 4x - 1| = a, следует рассмотреть различные значения a и проанализировать возможные ситуации:

1. a = 10: Для этого случая рассмотрим два уравнения: 1.1) x^2 - 4x - 1 = 10 1.2) x^2 - 4x - 1 = -10

1.1) x^2 - 4x - 11 = 0 1.2) x^2 - 4x + 9 = 0

Оба уравнения являются квадратными, и каждое из них имеет два различных корня. Таким образом, в этом случае у нас будет 4 различных корня.

2. a = 8: Аналогично рассмотрим два уравнения: 2.1) x^2 - 4x - 1 = 8 2.2) x^2 - 4x - 1 = -8

2.1) x^2 - 4x - 9 = 0 2.2) x^2 - 4x + 7 = 0

Оба уравнения также являются квадратными и оба имеют два различных корня. Так что и в этом случае будет 4 различных корня.

3. a > 6: Если a > 6, тогда уравнение |x^2 - 4x - 1| = a будет иметь два случая:

3.1) x^2 - 4x - 1 = a 3.2) x^2 - 4x - 1 = -a

Оба уравнения снова являются квадратными, и количество корней зависит от значения a. При достаточно большом a ситуация может быть такой, что одно уравнение будет иметь 0 или 1 корень, а другое - 2 корня. Например, если a стремится к бесконечности, у обоих уравнений будет по 2 корня.

4. a принадлежит (0;5): Если 0 < a < 5, уравнение |x^2 - 4x - 1| = a будет иметь два случая:

4.1) x^2 - 4x - 1 = a 4.2) x^2 - 4x - 1 = -a

Оба уравнения снова являются квадратными, и количество корней зависит от значения a. При этом значение a находится в промежутке (0;5), поэтому оба уравнения будут иметь по 2 различных корня.

5. a не существует: Если a не существует или равно отрицательному числу, уравнение |x^2 - 4x - 1| = a не имеет решений. Это происходит потому, что выражение |x^2 - 4x - 1| всегда неотрицательное, и оно не может быть равно отрицательному числу.

Таким образом, ответы на каждый из пунктов:

1. a = 10: Уравнение имеет 4 различных корня.
2. a = 8: Уравнение имеет 4 различных корня.
3. a > 6: Уравнение может иметь как 4, так и 2 различных корня, в зависимости от значения a.
4. a принадлежит (0;5): Уравнение имеет 4 различных корня.
5. a не существует: Уравнение не имеет решений.