Question

Привет всем, прошу помочь с заданием: sin(x + 7pi/6)+sin(5pi/3 + x)=3sin(x + pi/4)

Answer 1

Ответ на картинке внизу страницы

Answer 2

Привет! Конечно, я помогу решить это уравнение. Давайте начнем.

У нас есть уравнение: sin(x + 7π/6) + sin(5π/3 + x) = 3sin(x + π/4)

Для решения этого уравнения, первым шагом будет использование тригонометрических тождеств. В частности, нам понадобятся следующие тождества:

1. sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
2. sin(π/3) = √3/2
3. sin(π/6) = 1/2

Применим тождество (1) для первых двух слагаемых в левой части уравнения:

sin(x + 7π/6) + sin(5π/3 + x) = sin(x)cos(7π/6) + cos(x)sin(7π/6) + sin(x)cos(5π/3) + cos(x)sin(5π/3)

Теперь воспользуемся тем, что:

cos(7π/6) = cos(π + π/6) = -cos(π/6) = -1/2 sin(7π/6) = sin(π + π/6) = sin(π/6) = 1/2 cos(5π/3) = cos(π + 2π/3) = -cos(2π/3) = -(-1/2) = 1/2 sin(5π/3) = sin(π + 2π/3) = sin(2π/3) = √3/2

Подставляем значения обратно в уравнение:

sin(x)cos(7π/6) + cos(x)sin(7π/6) + sin(x)cos(5π/3) + cos(x)sin(5π/3) = sin(x)(-1/2) + cos(x)(1/2) + sin(x)(1/2) + cos(x)(√3/2) = (-1/2 + 1/2)sin(x) + (√3/2)cos(x) = √3/2 cos(x) = 3sin(x + π/4)

Теперь давайте решим уравнение:

√3/2 cos(x) = 3sin(x + π/4)

Для того чтобы решить это уравнение, разделим обе стороны на sin(x):

√3/2 cos(x) / sin(x) = 3sin(x + π/4) / sin(x)

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством:

cot(x) = 3cot(x + π/4)

где cot(x) - котангенс функции sin(x)/cos(x).

Теперь перенесем одну из сторон на другую:

cot(x) - 3cot(x + π/4) = 0

Теперь, чтобы решить уравнение, нам нужно найти значения x, при которых cot(x) - 3cot(x + π/4) равно нулю.

Тут стоит отметить, что cot(π/4) = 1, поэтому уравнение примет вид:

cot(x) - 3cot(x + π/4) = cot(x) - 3(1) = cot(x) - 3

Таким образом, уравнение будет:

cot(x) - 3 = 0

Теперь найдем решение этого уравнения:

cot(x) = 3

Теперь, так как cot(x) = cos(x)/sin(x), подставим его в уравнение и получим:

cos(x)/sin(x) = 3

Перенесем sin(x) на одну сторону:

cos(x) = 3sin(x)

Используем тригонометрическое тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

3sin^2(x) + cos^2(x) = 1

Теперь заменим cos^2(x) на 1 - sin^2(x):

3sin^2(x) + 1 - sin^2(x) = 1

Упростим уравнение:

2sin^2(x) = 0

Теперь найдем решение для sin(x):

sin^2(x) = 0

sin(x) = 0

Так как sin(π) = 0, sin(2π) = 0, sin(3π) = 0 и т.д., то x может принимать значения:

x = πk

где k - целое число.

Итак, решение уравнения sin(x + 7π/6) + sin(5π/3 + x) = 3sin(x + π/4) имеет вид x = πk, где k - целое число.