Question

При каком наименьшем натуральном значении k корни уравнения x^2+(k+2)^2 *x+2k-4=0 будут меньше 2

Answer 1

Для того, чтобы корни уравнения ax²+bx+c=0 (где a>0) были меньше числа d, должны выполняться следующие условия: D≥0, -b/2a < d, f(d)>0.

Answer 2

Чтобы найти наименьшее натуральное значение k, при котором корни уравнения будут меньше 2, нужно проанализировать условие дискриминанта.

Уравнение квадратного полинома вида ax^2 + bx + c = 0 имеет корни x1 и x2, которые можно найти с помощью формулы дискриминанта:

D = b^2 - 4ac.

Если D < 0, то у уравнения нет действительных корней. Если D = 0, то у уравнения есть один действительный корень (дважды кратный). Если D > 0, то у уравнения есть два различных действительных корня.

Для нашего уравнения x^2 + (k+2)^2 * x + 2k - 4 = 0, чтобы корни были меньше 2, необходимо и достаточно, чтобы D был меньше нуля. Давайте найдем это условие:

D = (k+2)^2 - 4 * 1 * (2k-4) D = k^2 + 4k + 4 - 8k + 16 D = k^2 - 4k + 20

Теперь поскольку мы хотим, чтобы D было меньше нуля, поставим неравенство:

k^2 - 4k + 20 < 0

Это квадратное уравнение относительно k. Чтобы найти его решения, можно воспользоваться дискриминантом:

D' = (-4)^2 - 4 * 1 * 20 D' = 16 - 80 D' = -64

Поскольку D' < 0, у нашего квадратного уравнения k^2 - 4k + 20 = 0 два комплексных корня. Таким образом, уравнение k^2 - 4k + 20 < 0 выполнено для всех натуральных значений k.

Это означает, что корни уравнения x^2 + (k+2)^2 * x + 2k - 4 = 0 будут меньше 2 для любого натурального значения k. Таким образом, наименьшее натуральное значение k не существует, так как это верно для всех натуральных k.