Question

Два рівнобедрені трикутники мають рівні кути при вершинах протилежних основам. Основа першого трикутника 12 см а медіана проведена до неї 8 см .Знайти бічну сторону і площу другого трикутника якщо його периметр дорівнює 128 см

Answer 1

Если в р/б треугольниках углы напротив основания равны, то углы при их основаниях тоже равны.

Объяснить можно так:

Допустим, угол напротив оснований равен х.

Сумма углов в любом треугольнике 180*.

Углы при основании р/б равны.

То есть угол при основании и в первом, и во втором треугольнике:

(180*-х)/2

Треугольники подобны по первому признаку подобия.

(Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны.)

Медиана в р/б треугольнике,проведенная к основанию, является так же и высотой, и биссектрисой.

Найдём боковую сторону первого треугольника:

Медиана делит р/б треугольник на 2 равных прямоугольных треугольника.(основание тоже делит 2 равных отрезка)

Рассмотрим один из них:

Половина основания р/б это один из катетов(12см/2=6см)

Медиана второй катет.

Боковая сторона р/б гипотенуза,

По теореме Пифагора найдём ее:

$\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$

Найдём периметр первого треугольника:

$P=10+10+12=32$

Найдём коэффициент подобия через периметр:

$k=\frac{P_1}{P_2}=\frac{32}{128}=\frac{1}{4}$

Найдём боковую сторону второго треугольника:

$\frac{10}{x}=\frac{1}{4}$

$x=10*4=40$

Найдём медиану второго треугольника

$\frac{8}{m_2}=\frac{1}{4}$

$m_2=8*4=32$

Найдём основание

$\frac{12}{b_2}=\frac{1}{4}$

$b_2=12*4=48$

Найдём площадь второго:

$S_2=\frac{48*32}{2}=24*32=768$

Так же можно площадь второго треугольника найти с помощью площади первого и коэффициента подобия.

Отношение площадей равно коэффициенту подобия в квадрате.

$\frac{S_1}{S_2} =(\frac{1}{4})^2= \frac{1}{16}$

$S_1= \frac{8*12}{2}=48$

$\frac{48}{S_2} = \frac{1}{16}$

$S_2=48*16=768$

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі, давайте позначимо величини та відомі нам дані:

Нехай ABC - перший рівнобедрений трикутник, з основою BC (12 см), і медіаною AM (8 см), де M - середина BC.

Нехай XYZ - другий рівнобедрений трикутник, який має рівні кути при вершинах X і Y, протилежні основі ZW (що є бічною стороною першого трикутника).

Хочемо знайти сторону ZW (нехай її довжина буде а) і площу другого трикутника.

1. Знаходимо сторону ZW: Оскільки AM - медіана першого трикутника, то вона також є висотою і ділить трикутник на два рівні трикутники.

Застосуємо теорему Піфагора для знаходження довжини ZM: ЗМ² = АМ² - АZ² ЗМ² = 8² - (12/2)² ЗМ² = 64 - 36 ЗМ² = 28 ЗМ = √28 = 2√7 см

Тепер, так як ми знаємо, що медіана розділяє основу на дві рівні частини, то довжина ZW дорівнює 2 * ЗМ = 2 * 2√7 = 4√7 см.

2. Знаходимо площу другого трикутника (XYZ): Другий трикутник також є рівнобедреним, тому його медіана з основою ZW (а) буде мати таку ж довжину, як медіана першого трикутника AM (8 см).

Площа другого трикутника може бути знайдена за допомогою формули: Площа = (1/4) * √(4a² - b²) * √(4a² - c²)

де a - медіана (8 см), b і c - довжини рівних сторін (бічних сторін трикутника).

Тоді площа XYZ = (1/4) * √(4 * 8² - a²) * √(4 * 8² - a²) Площа XYZ = (1/4) * √(256 - 64) * √(256 - 64) Площа XYZ = (1/4) * √192 * √192 Площа XYZ = (1/4) * 192 Площа XYZ = 48 кв. см

Таким чином, довжина бічної сторони другого рівнобедреного трикутника ZW дорівнює 4√7 см, а площа трикутника XYZ дорівнює 48 кв. см.