Question

Помогите решить не равенство 2х^2+х-1/х^2-9>0

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Для решения неравенства $2x^2 + \frac{x - 1}{x^2 - 9} > 0$, первым шагом мы должны привести его к общему знаменателю и упростить:

1. Найдем общий знаменатель: $x^2 - 9$ делится на $(x+3)(x-3)$, таким образом, общим знаменателем будет $(x+3)(x-3)$.

2. Приведем все слагаемые к общему знаменателю: $2x^2 + \frac{x - 1}{x^2 - 9} > 0 \implies \frac{2x^2(x^2 - 9) + (x - 1)}{x^2 - 9} > 0$ $\implies \frac{2x^4 - 18x^2 + x - 1}{(x+3)(x-3)} > 0$

Теперь найдем корни числителя $2x^4 - 18x^2 + x - 1$ и проверим знаки между ними, чтобы определить интервалы, на которых неравенство выполняется.

3. Найдем корни $2x^4 - 18x^2 + x - 1 = 0$: Для этого давайте воспользуемся методом декомпозиции на множители:

$2x^4 - 18x^2 + x - 1 = (x - 1)(2x^3 + 2x^2 - 16x + 1)$

Мы нашли один корень: $x = 1$.

Теперь остается решить уравнение $(2x^3 + 2x^2 - 16x + 1) = 0$. Для этого можно использовать численные методы или график функции.

4. Построим таблицу знаков: Теперь, чтобы понять, в каких интервалах выполняется неравенство, построим таблицу знаков. Для этого мы используем значения второго множителя $(2x^3 + 2x^2 - 16x + 1)$ вне точки $x = 1$ и интервалы между корнями.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & (2x^3 + 2x^2 - 16x + 1) & x - 3 & x + 3 & (x+3)(x-3) & \text{Знак} \\ \hline -2 & -5 & -5 & 1 & -15 & + \\ \hline 0 & 1 & -3 & 3 & -9 & + \\ \hline 2 & 9 & -1 & 5 & -1 & - \\ \hline \end{array}$$

5. Ответ: Теперь мы видим, что неравенство выполняется в двух интервалах:

• На интервале $-\infty < x < 1$
• На интервале $3 < x < \infty$

Таким образом, решение неравенства это $-\infty < x < 1$ или $3 < x < \infty$.