Question

Знайдіть первісну функції f(x)=5x^4+3x^2-4 , графік якої проходить через точку B(-1;12)

Answer 1

ДАНО

f(x) = 5*x⁴ + 3*x² - 4,  F(1) = 12

РЕШЕНИЕ

$F(x)=\int\limits {(5x^4+3x^2-4)} \, dx=\frac{5*x^5}{5}+\frac{3x^3}{3}- \frac{4x}{1}+ C= x^5+x^3-4x+C$

F(1) =1+1-4+C = 12 - проходит через точку 12.

C = 14.

Уравнение первообразной = F(x)=x⁵+x³-4x+14 - ОТВЕТ

Answer 2

Щоб знайти первісну функцію $F(x)$ для заданої функції $f(x) = 5x^4 + 3x^2 - 4$, ми будемо здійснювати обернені операції диференціювання.

Спочатку визначимо $F(x)$ для кожного доданку $f(x)$:

1. Для $5x^4$: Інтеграл $\int 5x^4 \, dx$ можна знайти, додаючи 1 до степеня $x$ і ділячи на новий степінь. Таким чином, отримаємо: $F_1(x) = \frac{5}{5} \cdot \frac{x^5}{5} + C_1 = x^5 + C_1$

2. Для $3x^2$: Інтеграл $\int 3x^2 \, dx$ можна знайти аналогічно: $F_2(x) = \frac{3}{3} \cdot \frac{x^3}{3} + C_2 = x^3 + C_2$

3. Для константи -4: Тут ми просто інтегруємо константу, отримаємо: $F_3(x) = -4x + C_3$

Тепер, щоб знайти $F(x)$ для початкової функції $f(x)$, просто додамо всі ці частини разом, додавши нові константи ігноруючи попередні $C_1, C_2, C_3$ (оскільки вони можуть бути різними):

$F(x) = F_1(x) + F_2(x) + F_3(x) = x^5 + x^3 - 4x + C$

Тепер нам потрібно знайти значення константи $C$. Для цього використаємо умову, що графік $F(x)$ проходить через точку $B(-1, 12)$:

$F(-1) = (-1)^5 + (-1)^3 - 4(-1) + C = -1 - 1 + 4 + C = 2 + C$

З точки $B$ знаємо, що $F(-1) = 12$, тому підставимо значення:

$2 + C = 12$ $C = 12 - 2$ $C = 10$

Таким чином, первісна функція $F(x)$ є:

$F(x) = x^5 + x^3 - 4x + 10$