Question

Запишите общее уравнение плоскости, проходящей через перпен- дикуляры, опущенные из точки P(−3, 2, 5) на плоскости 4x + y − 3z + 13 = 0 и x − 2y + z − 11 = 0.

Answer 1

////////////////////////////////////

Answer 2

Для того чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через перпендикуляры, опущенные из точки P(-3, 2, 5) на данные плоскости, выполним следующие шаги:

1. Найдем направляющий вектор для каждой из данных плоскостей.
2. Построим векторное произведение этих направляющих векторов, чтобы получить нормальный вектор плоскости, которая будет перпендикулярна к обоим исходным плоскостям.
3. Подставим найденный нормальный вектор и координаты точки P в общее уравнение плоскости.

Начнем с первого шага:

1. Найдем направляющие векторы для данных плоскостей. Плоскость 1: 4x + y - 3z + 13 = 0 Пусть A1 = 4, B1 = 1 и C1 = -3. Направляющий вектор для плоскости 1 будет равен V1 = (A1, B1, C1).

Плоскость 2: x - 2y + z - 11 = 0 Пусть A2 = 1, B2 = -2 и C2 = 1. Направляющий вектор для плоскости 2 будет равен V2 = (A2, B2, C2).

2. Найдем нормальный вектор плоскости, который будет перпендикулярен к V1 и V2. Для этого возьмем векторное произведение V1 и V2:

N = V1 × V2

где × обозначает векторное произведение.

Вычислим:

N = (V1_y * V2_z - V1_z * V2_y, V1_z * V2_x - V1_x * V2_z, V1_x * V2_y - V1_y * V2_x)

N = (1 * 1 - (-2) * (-3), (-3) * 1 - 1 * 1, 4 * (-2) - 1 * (-3))

N = (1 + 6, -3 - 1, -8 + 3)

N = (7, -4, -5)

Таким образом, нормальный вектор плоскости N имеет координаты (7, -4, -5).

3. Подставим найденный нормальный вектор и координаты точки P(-3, 2, 5) в общее уравнение плоскости:

Уравнение плоскости имеет вид:

Ax + By + Cz + D = 0

где (A, B, C) - координаты нормального вектора, (x, y, z) - произвольные точки на плоскости, а D - неизвестная константа.

Подставим значения: A = 7, B = -4, C = -5 и (x, y, z) = (-3, 2, 5) в уравнение плоскости:

7*(-3) + (-4)*2 + (-5)*5 + D = 0

-21 - 8 - 25 + D = 0

D = 54

Итак, общее уравнение плоскости, проходящей через перпендикуляры, опущенные из точки P(-3, 2, 5) на данные плоскости, будет:

7x - 4y - 5z + 54 = 0