Question

При каждом значении параметра a решите неравенство ax⁴ + x³ + (2a + 3a³)x² + 2x + 6a³>0

Answer 1

////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

Answer 2

Чтобы решить неравенство $ax^4 + x^3 + (2a + 3a^3)x^2 + 2x + 6a^3 > 0$ для всех значений параметра $a$, нужно проанализировать его поведение при различных значениях $a$ и выделить интервалы, на которых неравенство выполняется.

Для упрощения обозначений, давайте обозначим левую часть неравенства как функцию $f(x)$:

$f(x) = ax^4 + x^3 + (2a + 3a^3)x^2 + 2x + 6a^3$

Теперь рассмотрим различные случаи:

1. Если $a = 0$, то $f(x) = x^3 + 2x > 0$ при $x < 0$ или $x > 0$.

2. Если $a > 0$, то рассмотрим два подслучая:

   2.1. Пусть $a \geq 1$. В этом случае $f(x)$ будет возрастать с ростом $x$ (при $x > 0$), и так как $f(0) = 0$, то неравенство выполнено для всех $x > 0$.

   2.2. Пусть $0 < a < 1$. В этом случае $f(x)$ будет убывать при $x > -1/a$. Также, $f(0) = 6a^3 > 0$ и $f(-1/a) = 7a^3 - 1/a > 0$. Таким образом, неравенство выполняется на интервале $-\infty < x < -1/a$ и $0 < x < \infty$.

3. Если $a < 0$, то рассмотрим два подслучая:

   3.1. Пусть $a \leq -1$. В этом случае $f(x)$ будет убывать с ростом $x$ (при $x > 0$), и так как $f(0) = 0$, то неравенство выполнено для всех $x > 0$.

   3.2. Пусть $-1 < a < 0$. В этом случае $f(x)$ будет возрастать при $x < -1/a$. Кроме того, $f(0) = 6a^3 > 0$ и $f(-1/a) = 7a^3 - 1/a < 0$. Таким образом, неравенство выполняется на интервале $-\infty < x < 0$ и $x > -1/a$.

В итоге, решение неравенства для всех значений параметра $a$ можно записать следующим образом:

1. Если $a = 0$, неравенство выполняется при $x < 0$ и $x > 0$.
2. Если $a > 0$, неравенство выполняется при $x < -1/a$ и $x > 0$.
3. Если $a < 0$, неравенство выполняется при $x < 0$ и $x > -1/a$.