Question

((a^2-bc)/((a-b)(a-c)))+((b^2+ac)/((b+c)(b-a)))+((c^2+ab)/((c-a)(c+b))) упростить

Answer 1

$\frac{ {a}^{2} - bc }{(a - b)(a - c)} + \frac{ {b}^{2} + ac}{(b + c)(b - a)} + \frac{ {c}^{2} + ab }{(c - a)(c + b)} = \frac{ {a}^{2} - bc }{(a - b)(a - c)} - \frac{ {b}^{2} + ac}{(b + c)(a - b)} - \frac{ {c}^{2} + ab }{(a - c)(b + c)} = \frac{( {a}^{2} - bc)(b + c) - ( {b}^{2} + ac)(a - c) }{(a - b)(a - c)(b + c)} - \frac{ {c}^{2} + ab}{(a - c)(b + c)} = \frac{ {a}^{2} b - {b}^{2} c + {a}^{2}c - b {c}^{2} - {b}^{2} a - {a}^{2}c + {b}^{2} c + a {c}^{2} }{(a - b)(a - c)(b + c)} - \frac{ {c}^{2} + ab}{(a - c)(b + c)} = \frac{ {a}^{2} b - b{c}^{2} - {b}^{2}a + a {c}^{2} }{(a - b)(a - c)(b + c)} - \frac{ {c}^{2} + ab}{(a - c)(b + c)} = \frac{ab(a - b) + {c}^{2}(a - b) }{(a - b)(a - c)(b + c)} - \frac{ {c}^{2} + ab}{(a - c)(b + c)} = \frac{(a - b)(ab + {c}^{2}) }{(a - b)(a - c)(b + c)} - \frac{ {c}^{2} + ab }{(a - c)(b + c)} = \frac{ab + {c}^{2} }{(a - c)(b + c)} - \frac{ {c}^{2} + ab}{(a - c)(b + c)} = 0$

Answer 2

Для упрощения данного выражения давайте разложим каждое слагаемое на простые дроби.

Выражение:

((a^2 - bc)/((a - b)(a - c))) + ((b^2 + ac)/((b + c)(b - a))) + ((c^2 + ab)/((c - a)(c + b)))

Мы можем раскрыть скобки в знаменателях и объединить общие слагаемые:

((a^2 - bc)/((a - b)(a - c))) = a/(a - b) - c/(a - c)

((b^2 + ac)/((b + c)(b - a))) = b/(b + c) + a/(b - a)

((c^2 + ab)/((c - a)(c + b))) = c/(c - a) + a/(c + b)

Теперь объединим все слагаемые:

(a/(a - b) - c/(a - c)) + (b/(b + c) + a/(b - a)) + (c/(c - a) + a/(c + b))

Далее найдем общий знаменатель для всех слагаемых, чтобы их сложить:

Общий знаменатель: (a - b)(a - c)(b + c)(b - a)(c - a)(c + b)

Теперь приведем все слагаемые к общему знаменателю:

((a/(a - b) - c/(a - c)) * (b + c)(b - a)(c + b) + (b/(b + c) + a/(b - a)) * (a - b)(a - c)(c + b) + (c/(c - a) + a/(c + b)) * (a - b)(a - c)(b + c)) / ((a - b)(a - c)(b + c)(b - a)(c - a)(c + b))

Теперь умножим каждое слагаемое на соответствующий множитель в числителе:

((a * (b + c)(b - a)(c + b)) / (a - b) - (c * (b + c)(b - a)(c + b)) / (a - c) + (b * (a - b)(a - c)(c + b)) / (b + c) + (a * (a - b)(a - c)(c + b)) / (b - a) + (c * (a - b)(a - c)(c + b)) / (c - a) + (a * (a - b)(a - c)(b + c)) / (c + b))

Теперь приведем все слагаемые к общему знаменателю и объединим их:

((a * (b + c)(b - a)(c + b) - c * (b + c)(b - a)(c + b) + b * (a - b)(a - c)(c + b) + a * (a - b)(a - c)(c + b) + c * (a - b)(a - c)(c + b) + a * (a - b)(a - c)(b + c)) / ((a - b)(a - c)(b + c)(b - a)(c - a)(c + b))

Теперь объединим числитель:

(a * (b + c)(b - a)(c + b) - c * (b + c)(b - a)(c + b) + b * (a - b)(a - c)(c + b) + a * (a - b)(a - c)(c + b) + c * (a - b)(a - c)(c + b) + a * (a - b)(a - c)(b + c)) = a * (b^3 - b^2a + bc^2 + 2abc - c^3 - ac^2) - c * (b^3 - b^2a + bc^2 + 2abc - c^3 - ac^2) + b * (a^3 - a^2c + ab^2 + 2abc - b^3 - bc^2) + a * (a^3 - a^2c + ab^2 + 2abc - b^3 - bc^2) + c * (a^3 - a^2c + ab^2 + 2abc - b^3 - bc^2) + a * (a^3 - a^2c + ab^2 + 2abc - b^3 - bc^2)

Теперь объединим все вместе и получим окончательный результат:

(a * (b^3 - b^2a + bc^2 + 2abc - c^3 - ac^2) - c * (b^3 - b^2a + bc^2 + 2abc - c^3 - ac^2) + b * (a^3 - a^2c + ab^2 + 2abc - b^3 - bc^2) + a * (a^3 - a^2c + ab^2 + 2abc - b^3 - bc^2) + c * (a^3 - a^2c + ab^2 + 2abc - b^3 - bc^2) + a * (a^3 - a^2c + ab^2 + 2abc - b^3 - bc^2)) / ((a - b)(a - c)(b + c)(b - a)(c - a)(c + b))

Теперь, если необходимо, можно дополнительно упростить числитель и знаменатель, а также проверить наличие возможных сокращений. Однако окончательное упрощение данного выражения может быть довольно громоздким.