Question

Баба Галя заготовила на зиму 9 банок варенья, весящих 1 кг, 2 кг, 3 кг... 9 кг соответственно. На каждой банке баба Галя написала, сколько она весит. Однажды её внучка Маша съела полкило варенья из какой-то банки. За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь можно узнать, из какой банки полакомилась вареньем Маша?

Answer 1

всего банок ---- 9 б.

масса: ----- 1;2;...;9 кг.

съедено --- 0,5 кг

найти банку --- ? взвеш.

Решение.

1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45 (кг) ----- общая масса банок

    Сгруппируем наборы по 3 банки, чтобы масса каждого набора была 15 кг

1 + 6 + 8 = 15

2 + 4 + 9 = 15

3 + 5 + 7 = 15

    Один набор отложим, два взвесим.

     Если чашки в равновесии, то банка с меньшей массой в отложенном наборе. Если нет, то в более легком, на более высоко поднятой чашке.

   В любом случае, при втором взвешивании понадобится выбрать неполную банку из трех.

    Возьмем подозрительный набор, отложим одну банку, так, чтобы  к меньшей из оставшихся двух можно было добавить из признанных полными банку с массой, дающей с меньшей сумму, равную массе большей. Взвесим  -  банка найдена. Она на более высокой чашке. Или одна, или в паре с дополнительной банкой (с массой, равной написанной). Если чашки равны, то варенье съели в отложенной банке.

Пример.   После первого взвешивания найдено, что масса банок (1 + 6 + 8) в сумме меньше другого набора. Откладываем банку 1 кг, добавляем к банке 6 кг банку 2 кг, которая признана точной при первом взвешивании, и взвешиваем. Получаем, что (6+2) легче 8. Значит, варенье съедено из банки с надписью 6 кг.

Ответ: 2 взвешивания достаточно.

Answer 2

Для того чтобы узнать, из какой банки Маша полакомилась вареньем, можно выполнить следующие шаги:

1. Разделим банки на две группы, в каждой из которых будет равное количество банок. Пусть первая группа будет содержать банки с 1 кг, 2 кг, 3 кг и 4 кг варенья, а вторая группа — с 5 кг, 6 кг, 7 кг, 8 кг и 9 кг варенья.

2. Взвесим первую группу на чашечных весах. Если бы Маша не съела варенье, вес каждой банки в этой группе будет равен числу, написанному на банке.

3. Если разница между общим весом первой группы и общим весом второй группы составляет 0,5 кг, то Маша съела варенье из банки, которая у нас осталась в руках. Если разница равна 1 кг, значит, Маша съела варенье из банки, которая находится во второй группе (более тяжелой).

4. Для того чтобы узнать точный вес банки, которую съела Маша, можно провести еще два взвешивания: разделим группу с банками тяжелее 1 кг, 2 кг, 3 кг и 4 кг на две части и снова взвесим их. Если разница между общим весом этих двух частей составляет 0,5 кг, то Маша съела варенье из банки, которая у нас осталась в руках. Если разница равна 1 кг, значит, Маша съела варенье из банки, которая была во второй изначальной группе банок.

5. Наконец, проведем последнее взвешивание с банками тяжелее (5 кг, 6 кг, 7 кг, 8 кг и 9 кг), разделим их на две части и снова взвесим. Теперь уже можно точно определить, из какой из оставшихся двух банок Маша съела варенье.

Таким образом, минимальное число взвешиваний для определения банки с вареньем, которую съела Маша, составит 3.