Question

На сколько отличаются количество натуральных чисел меньших 100000 с суммой цифр 17 и количество натуральных чисел меньших 100000 с суммой цифр 28?

Answer 1

Докажем, что из любого такого числа с суммой цифр 17 можно сделать число с суммой цифр 28. Пусть у числа были цифры a, b, c, d, e. Рассмотрим число с цифрами 9-a, 9-b, 9-c, 9-d, 9-e, сумма цифр этого числа будет равна 45 - 17 (=28). Если какая-то из цифр какого либо числа равна нулю и стоит перед ненулевыми цифрами, то её не пишем, но как цифру рассматриваем При этом эти два числа не будут равны. Значит, чисел с суммой цифр 28 не меньше, чем чисел с суммой цифр 17. В обратную сторону так же. Значит, чисел с суммой цифр 17 не меньше, чем чисел с суммой цифр 28. Значит, их одинаковое количество.

Ответ: Количества равны.

Answer 2

Для решения этой задачи необходимо вычислить количество натуральных чисел, меньших 100000, с заданной суммой цифр.

Для чисел с суммой цифр равной 17:

1. Посчитаем количество однозначных чисел с суммой цифр 17. Таких чисел нет, так как максимальная однозначная сумма цифр равна 9.
2. Посчитаем количество двузначных чисел с суммой цифр 17. Чтобы сумма цифр была равна 17, можно выбрать 8 как одну из цифр (9 - 1 = 8), а вторую цифру можно выбрать однозначную (так как уже выбрали 8). Таким образом, есть 8 двузначных чисел с суммой цифр 17.
3. Посчитаем количество трехзначных чисел с суммой цифр 17. Аналогично предыдущему пункту, выберем одну из цифр равной 8, остается 9 возможных однозначных чисел для второй цифры. Но у нас осталась еще одна цифра для выбора (третья), и это также может быть однозначное число. Таким образом, получаем 8 * 9 = 72 трехзначных числа с суммой цифр 17.
4. Посчитаем количество четырехзначных чисел с суммой цифр 17. Аналогично предыдущим пунктам, выберем одну из цифр равной 8, остается 9 возможных однозначных чисел для второй цифры, и 9 возможных однозначных чисел для третьей цифры. Оставшаяся четвертая цифра также может быть однозначным числом. Таким образом, получаем 8 * 9 * 9 = 648 четырехзначных чисел с суммой цифр 17.

Теперь проделаем те же шаги для чисел с суммой цифр равной 28:

1. Для однозначных чисел нет возможности, так как максимальная однозначная сумма цифр равна 9.
2. Для двузначных чисел с суммой цифр 28, выберем 19 (28 - 9 = 19) как одну из цифр, и оставшаяся цифра может быть однозначной. Таким образом, имеем 1 двузначное число с суммой цифр 28 (то есть число 91).
3. Для трехзначных чисел с суммой цифр 28, выберем 19 (28 - 9 = 19) как одну из цифр, остается 9 возможных однозначных чисел для второй цифры и 9 возможных однозначных чисел для третьей цифры. Таким образом, получаем 1 * 9 * 9 = 81 трехзначное число с суммой цифр 28.
4. Для четырехзначных чисел с суммой цифр 28, выберем 19 (28 - 9 = 19) как одну из цифр, остается 9 возможных однозначных чисел для второй цифры, и 9 возможных однозначных чисел для третьей цифры. Оставшаяся четвертая цифра также может быть однозначным числом. Таким образом, получаем 1 * 9 * 9 * 9 = 729 четырехзначных чисел с суммой цифр 28.

Теперь найдем разницу в количестве чисел: Количество чисел с суммой цифр 17: 648 Количество чисел с суммой цифр 28: 729 Разница: 729 - 648 = 81

Таким образом, количество натуральных чисел, меньших 100000, с суммой цифр 17, отличается от количества чисел с суммой цифр 28 на 81.