Question

Решите уравнение х²+81=0

Answer 1

х²+81=0

х² = -81 квадрат равен отрицательному числу

в действительных числах решений нет

в комплексных x12=+-9i (i=√-1)

Answer 2

Для решения квадратного уравнения $x^2 + 81 = 0$ нужно найти значение $x$, которое удовлетворяет уравнению.

Но сначала давайте проверим, имеет ли уравнение решения в вещественных числах. Рассмотрим выражение $x^2 + 81$. Всегда, когда мы добавляем положительное число к квадрату какого-либо числа, результат будет положительным. Так как $81 > 0$, то $x^2 + 81 > 0$ для любого $x$ в вещественных числах.

Это значит, что уравнение $x^2 + 81 = 0$ не имеет решений в вещественных числах, так как сумма квадрата $x^2$ и положительного числа 81 всегда будет положительной.

Однако, можно найти комплексные решения для данного уравнения. Для этого представим 81 как комплексное число $81i$, где $i$ - мнимая единица ($i^2 = -1$).

Теперь уравнение примет вид: $x^2 + 81i = 0$.

Чтобы найти решения, перенесем $81i$ на другую сторону уравнения:

$x^2 = -81i$.

Теперь извлекаем квадратный корень с обеих сторон:

$x = \sqrt{-81i}$.

Мы можем представить $81i$ в тригонометрической форме:

$81i = 81 \cdot e^{i\frac{\pi}{2}}$,

где $e^{i\frac{\pi}{2}}$ - это синус комплексного числа $\frac{\pi}{2}$.

Таким образом,

$x = \sqrt{-81i} = \sqrt{81 \cdot e^{i\frac{\pi}{2}}} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{e^{i\frac{\pi}{2}}} = 9 \cdot e^{i\frac{\pi}{4}}$,

где $\sqrt{81} = 9$ и $\sqrt{e^{i\frac{\pi}{2}}} = e^{i\frac{\pi}{4}}$.

Таким образом, комплексные решения уравнения $x^2 + 81 = 0$ это $x = 9e^{i\frac{\pi}{4}}$ и $x = -9e^{i\frac{\pi}{4}}$.