Question

Найти Полный дифференциал первого порядка я нашел Но мне не совсем понятно как теперь подступится ко второй производной.В плане нахождения частных производных.Так как мое решение и ответ разнятся. Например: , непонятно как действовать с f(t).

Answer 1

$du=f'(t)\,dt\\ d^2u=d(du)=d(f'(t)\,dt)=f''(t)\,(dt)^2+f'(t)\,d(dt)$

dt уже выписано:

$dt=2(x\,dx+y\,dy+z\,dz)$

Вычисляем d(dt):

$d(dt)=2((dx)^2+(dy)^2+(dz)^2)$

Тогда

$d^2u=4f''(t)(x\,dx+y\,dy+z\,dz)^2+2f'(t)(dx^2+dy^2+dz^2)=\\=4f''(t)(x^2\,dx^2+y^2\,dy^2+z^2\,dz^2+2xy\,dx\,dy+2xz\,dx\,dz+\\+2yz\,dy\,dz)^2+2f'(t)(dx^2+dy^2+dz^2)$

Answer 2

Для того чтобы вычислить вторую производную функции, вам необходимо найти частные производные второго порядка. Для этого сначала найдите частные производные первого порядка, а затем продифференцируйте их еще раз.

Предположим, у вас есть функция $f(t, x)$, где $t$ - это независимая переменная, а $x$ - зависимая переменная.

1. Найдите частные производные первого порядка:

$\frac{\partial f}{\partial t}$ - частная производная по $t$

$\frac{\partial f}{\partial x}$ - частная производная по $x$

2. Затем найдите частные производные второго порядка:

$\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}$ - вторая частная производная по $t$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ - вторая частная производная по $x$

3. И, наконец, найдите смешанную частную производную второго порядка:

$\frac{\partial^2 f}{\partial t \partial x}$ - частная производная по $t$ и затем по $x$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial t}$ - частная производная по $x$ и затем по $t$

Обратите внимание, что порядок взятия частных производных может влиять на результат, поскольку смешанные производные могут быть несимметричными. В общем случае $\frac{\partial^2 f}{\partial t \partial x}$ и $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial t}$ могут быть разными.

Если у вас есть конкретная функция $f(t, x)$, то укажите ее, и я помогу вам найти вторую производную и разъясню каждый шаг.