Question

Биссектриса угла B треугольника ABC пересекает описанную около него окружность в точке S, AC=8, AS=2 . Чему равен угол B , чему равен радиус окружности

Answer 1

 Так как AS биссектриса, тогда AS=SC = 2*sqrt(5),  ASC = 180-B  тогда по Теореме косинусов

2AS^2(1+cosB)=AC^2 40+40*cosB=8^2

Откуда  cosB=3/5 откуда B=arccos(3/5) , радиус R=AC/(2*sinB) = 8/(2*(4/5)) = 5

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами биссектрисы и степеней точек.

1. Свойство биссектрисы: Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника.

Дано, что AS (отрезок, на котором лежит биссектриса угла B) равен 2, а AC равно 8. Заметим, что AS является частью стороны AC, разделенной биссектрисой. Тогда можно записать отношение длин:

AS / AC = BS / BC

2 / 8 = BS / BC

Упростим это уравнение:

BS = BC / 4

2. Свойство степеней точек: Для точки, лежащей на окружности, проходящей через вершины угла, произведение расстояний от этой точки до вершин угла равно квадрату радиуса окружности.

Зная, что AS = 2, можем записать:

AS * BS = RS^2

2 * BC / 4 = RS^2

BC / 2 = RS^2

3. Треугольник ABS подобен треугольнику ABC по трем углам, так как AS - это биссектриса угла B.

Таким образом, угол BAS равен углу BCA.

4. Также, треугольник ASC также подобен треугольнику ABC по двум углам, так как AS - это биссектриса угла B, и угол ASC равен углу ACB.

Таким образом, угол ASC равен углу ACB.

5. Заметим, что угол BAC равен сумме углов BAS и CAS, так как они образуют прямую линию.

Угол BAC = BAS + CAS

Теперь у нас есть равенство углов:

BAC = BCA + ACB

Таким образом, угол B равен половине угла BAC:

B = (1/2) * BAC

Теперь, чтобы найти радиус окружности, нужно выразить BC через B и RS через BC.

Из свойства степеней точек (пункт 2) у нас есть:

BC / 2 = RS^2

Также, из подобия треугольников ABS и ABC (пункт 1):

BS = BC / 4

Заменим значение BS в уравнении о степенях точек:

(BC / 4) * BC = RS^2

BC^2 / 4 = RS^2

Теперь найдем BC:

BC^2 = 4 * RS^2

BC = 2 * RS

Теперь, используем равенство углов, чтобы найти B:

B = (1/2) * BAC

Мы знаем, что BAC = BCA + ACB

B = (1/2) * (BCA + ACB)

B = (1/2) * (2 * ACB)

B = ACB

Итак, угол B равен углу ACB.

Теперь у нас есть отношение BC и RS:

BC = 2 * RS

А также у нас есть отношение AS и BS:

AS = 2

BS = BC / 4

Теперь мы можем использовать информацию о треугольнике ASC для нахождения радиуса окружности.

Рассмотрим треугольник ASC: AC^2 = AS * AS + SC * SC

8^2 = 2^2 + SC^2

64 = 4 + SC^2

SC^2 = 60

SC = √60 ≈ 7.75

Так как SC равен радиусу окружности, то радиус окружности ≈ 7.75.

Итак, угол B равен углу ACB, а радиус окружности примерно 7.75.